數學歸納法的一般解題技巧

朱凌云

數學歸納法是證明數列不等式和與正自然數相關的不等式的最有效方法，從近幾年的高考理科數學試卷分析可以看出，用數學歸納法證明的題目，基本上都是高考理科數學的壓軸題，而且題目綜合性很強、難度很大，學生容易失分。

本文通過分析近幾年高考數學試題中利用數學歸納法解題的題目，總結了以下四種用數學歸納法解題的技巧和策略，僅供大家參考。

解題技巧一：緊扣假設，合理放縮

評注：通過對上述兩種證明方法進行比較，可見“借助單調性、化險為夷”，這種方法比利用“數學歸納法的一般步驟”解題要容易得多，也容易接受，使

原來復雜的問題簡單化。但這種方法具有一定的局限性：①一般常見于數列型的不等式證明；②需要學生有一定的綜合分析問題的能力。

解題技巧三：遇水架橋，平穩過渡

如果“假設不等式”直接向“目標不等式”證明過程中有困難時，可以先尋求一個介于“假設不等式”和“目標不等式”之間的“橋梁不等式”，通過對“橋梁不等式”的證明，實現由“假設不等式”到“目標不等式”的平穩過渡，而這個“橋梁不等式”應該比較簡單，且容易證明，僅起到橋梁的作用。

評注：本題的關鍵是通過第（Ⅱ）問知道當a≥時，有f（x）≥lnx（x≥1）。如果沒有發現這一點，還可以通過分析找到以后的不等關系，但這會增加難度，同時也浪費了考場上寶貴的時間。因此在平時的訓練過程中，要加強對同一題設下，各小題之間關系的分析，你將會發現處處是寶。

（作者單位：安徽省南陵縣家發中學）