分離變量法在微分方程中的應用

封靈芳

分離變量法是微分方程的解法之一，其思想是通過變量分離，把微分方程的求解問題轉化為積分問題.同時也是就解決偏微分方程的重要工具，將求偏微分問題轉化為求解常微分問題.分離變量法有自身的特點及其適用范圍，下面就對這個問題做初步探討。

雖然分離變量法要求定解問題方程和邊界齊次，但是對于非齊次問題可以利用齊次化原理將其轉化為齊次可分離方程。

綜上所述，分離變量法的步驟：首先，分離變量；其次，利用齊次邊界條件求 的值和分離變量的一系列解；再次，利用疊加原理得到分離變量解；最后，利用初始條件求傅里葉系數，最后得到分離變量解的傅里葉級數。

3.分離變量法的特點及其適用范圍

其一，受線性疊加原理的限制，只能解決線性問題.并且必須是齊次方程齊次邊界條件，對一般的非齊次方程可以應用，但要借助于其他的方法共同完成。

其二，分離變量法對邊界條件中的邊界只能直角坐標系中規則的區域和圓、球、柱域的問題，在解決后兩者問題時引入不少的特殊函數，計算相當復雜.對其他形狀的問題，雖然可以建立相應的坐標系來解決，但將更加復雜.但是分離變量法是微分方程中不可缺少的一部分。