排列組合解題技巧探究

譚哲友

1引言

高中的數學知識是基礎數學，是數學大廈的根基，其中排列組合是獨立的內容，也是重要的內容。在生產實踐中，排列組合的知識也經常應用，比如，工作安排力的分工、選配等實際問題，用排列組合來解決將會得到更好的處理結果。

2排列組合的基本概念和計算公式

排列的定義：有n個不同元素，從中取出m個，按照順序排成一列，叫做排列。

組合的定義：有n個不同元素，從中取出m個，組成一組，叫做組合。

排列數的計算公式：

[Amn=nn-1n-2…n-m+1=n！n-m！]

組合數的計算公式：

[Cmn=AmnAmm=nn-1n-2…n-m+1m！=n！m！n-m！]

3排列組合解題方法之插入法

如果在題目中有這樣的特征，即題目涉及的幾個元素不相鄰，這時可采用插入法進行求解，具體做法是先將沒有限制條件的元素進行排列，然后將有限制條件的元素按要求插入到排列好的列之間。

例 某次體育訓練，一隊共有3個女生和5個男生，要將這8個人排成一排，要求女生不允許站一起，必須全部分開，問一共有多少種不同的排列方法？

解：首先把沒有限制條件的5個男生進行排列，共有[A55]種不同的排列方法，男生排列好之后，可發現，兩個相鄰男生之間有一個空位，5個人男生之間有4個空位，再加上5個男生左右兩側的兩個空位，一共有6個空位，我們需要做的就是將6個空位中安排3個女生，有[A36]種排列方法，計算如下：[A55×A36=14400]。可知，一共有14400種排列方法。

4排列組合解題方法之轉換法

如果題目中問題較難，則要進行轉換，將難解決的問題轉化為容易解決的問題。

例 大學一年級有8個班，根據學校要求，需要組織年級學生會，名額12人，要求每個班至少一個人，問有多少種不同的分法？

解：將問題進行轉化：12個人進行排列，則12人之間有11個空位，每次從11個空位中取7個，這7個空位就把12人分成8組，每組代表一個班級，則達到題目的要求。所以一共有[C711]種分配方法。

5排列組合解題方法之對等法

如果題目中某些元素與另一些元素的意義相同，則那么可求其中一種情況就可以。

例 有6個人排隊，甲排在乙前面，問有多少種排列方法？

解：排隊時，或者甲在乙前，或者乙在甲前，兩種排法一樣多，則有[12A66]種排列方法。

6排列組合解題方法之遞推法

如果題目中給定一定的排列規則，問n個元素如何排列，那么可以嘗試借助數列遞推求解。

例 有一條長方形的布，將其正面分為從左至右的五個長方形部分進行染色。現只有黃，綠，藍三種顏色，要求布上三種顏色都要有，且相鄰兩個區域不能同色（否則就變為四個區域了），問共有多少種染色法？若分成六個部分呢？

解：假設分成n個部分有[an]種染色法，則[a3=A33]，每在右邊（或左邊）加一個區域，則分為兩種情況：①增加區域的顏色不影響之前n個區域的顏色分布，這會有[2an]種情況；②增加的區域顏色是之前n個區域沒有的，即前n個區域只有兩種顏色交替分布，則有3×2=6種方式。

于是可以得到關系[an+1=2an+6]利用這個遞推關系，[a5=42]，[a6=90]。所以分成五個和六個區域分別會有42，90種染法。

7總結

在排列組合的解題過程中，要靈活將問題進行轉換。具體的解題技巧有插入法，捆綁法，轉化法，對等法，排異法等，分類見表一。endprint