關于解析函數性質的若干思考

李春龍

【摘要】解析函數作為一種具有某種特性的可導函數，在我們研究復變函數時，常常將其作為研究的主要對象。研究解析函數的性質，對我們正確分析、判斷復變函數有著十分重要的作用。本文研以函數f（z）在域D內解析為背景，探討了f（z）解析函數的幾個典型性質與應用時需要注意的問題。

【關鍵詞】函數 解析函數 函數性質

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）38-0134-01

一、什么是解析函數

解析函數能夠揭示函數非常多的重要信息，因此我們在研究復變函數時常常會應用到它。關于它的的定義，用公式表示為：函數f（z）在某一域D內可導，即f（z）稱為D內的解析函數。解析函數表現了函數的解析性特征，而函數的解析性總是與某一域聯系在一起。只有在某一域中，解析函數才能得以實現。從這個角度來講，解析函數其實就是函數在某一域中某一點的解析，并且，在這該點及其領域，函數處處可導。所有的三角函數（如sin z，cos z）都為解析函數。關于解析函數的零點與奇點：若f（z）在域D內a點的對應值為0，即a點稱為f（z）的零點（零點的階段都是正整數）。若f（z）在a點與鄰域處處不可導，或雖可導但不解析，則a點稱為f（z）的奇點（孤立奇點是解析函數中最重要的一個奇點）。

二、解析函數性質分析

假設f（z）是某一域D的解析函數，則解析函數f（z）有以下幾種性質。

其一，f（z）具有唯一性特征。若f1（z）、f2（z）都是域D內的解析函數，且f1（z）、f2（z）在一個收斂于D的a點（a∈D但a≠zn）的對應值相同，那么f1（z）、f2（z）在域D內恒等。若f1（z）、f2（z）在域D某一區域內恒等，那么二者也在域D內恒等。同時，f1（z）、f2（z）在z實軸上恒等，那么二者也在z平面上恒等。

其二，若f（z）是某一域D內的解析函數，則二解析函數f1（z）、f2（z）以及f1（z）與f2（z）之和也是域D內的解析函數，即f1（z）、f2（z）在D內某一點可導，且二者之和在該點同樣可導。同樣，若f′1（z）、f′2（z）在D內連續，則二者之和同樣連續。這里僅僅說明了二解析函數與其和是D內的解析函數，除此之外，則二解析函數f1（z）、f2（z）的和、差、積、商都是該域D的內的解析函數。基于此性質，在實際計算解析函數時，我們可以自由地將其對應的二解析函數進行差、和、積與商運算，以便于運算，快速求解。

其四，f（z）在D內每一點都滿足柯西-黎曼條件。若f（z）在D內可導，那么f（z）在D內解析的一個重要條件就是f（z）在D內每一點都滿足柯西-黎曼條件。這也就是說，f（z）在D內具有實部與虛部之間的聯系。通過這種聯系，我們可以通過實部（虛部），通過柯西-黎曼方程，計算出相對應的虛部（實部）。需要說明的是，f（z）在D內的實部與虛部之間的聯系是一種相互依賴關系，并不是誰決定誰的關系，二者互相影響，互相作用。很多時候，我們可以將二者形象化地表現出來，這樣會更加直觀地分析解析函數。例如，在計算兩族曲線切線方向時，通過設定兩個常數組，再由柯西-黎曼方程計算出兩族曲線切線方向之間的標積，就會得出對應解析函數的實部與虛部。另外還需要說明的是，解析函數的實部與虛部必須滿足二維拉普拉斯方程，即兩者必須是調和函數。

其五，設域D有邊界，邊界為L，若f（z）在該域內解析，在D=D+L上連續，則f（z）在D內有任意階導數，即f（z）在D內有無窮可導性。解析函數的這種特性，可以便于我們計算一些周線積分。需要注意的是，如果被積函數在D邊界C內部有兩個以上的不解析點，則不能直接應用它們。

結語

解析函數能夠揭示函數非常多的重要信息，因此我們在研究復變函數時常常會應用到它。正確分析與判斷解析函數的概念，并熟練掌握它的性質，能夠給我們數學、力學和工程學等領域的工作帶來很大的幫助。

參考文獻：

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