初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的應(yīng)用

善軍

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生常常會(huì)對(duì)概念、定理、推論中的條件以及其適用范圍不甚了解，以致建立錯(cuò)誤印象，應(yīng)用問(wèn)題頻出。教師可以應(yīng)用反例教學(xué)，深化學(xué)生對(duì)條件與使用范圍的認(rèn)知，減少學(xué)生失誤。可以利用反例明細(xì)概念，可以利用反例明確定理與推論的適用范圍。

關(guān)鍵字：反例；初中數(shù)學(xué)教學(xué)

所謂反例，是指與命題相反相左的例子。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用反例，是為了讓學(xué)生對(duì)命題中的條件形成更加準(zhǔn)確的了解，或者是針對(duì)學(xué)生的懷疑之處予以解惑。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，因?yàn)樗季S的年齡局限性，學(xué)生常常會(huì)忽視命題中的一些條件或者是條件的適用范圍，導(dǎo)致學(xué)生在應(yīng)用命題時(shí)頻發(fā)錯(cuò)誤，應(yīng)用反例，可以讓學(xué)生對(duì)命題中的條件或條件的適用范圍形成深刻的認(rèn)知，在應(yīng)用命題時(shí)付諸注意。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生有時(shí)會(huì)對(duì)命題中的一些條件以及其適用范圍的規(guī)定產(chǎn)生質(zhì)疑，以之為錙銖必較，如果有反例的證明，學(xué)生便會(huì)對(duì)這些有了明確認(rèn)知。此外，反例教學(xué)有利于打破學(xué)生的思維定勢(shì)，發(fā)展學(xué)生的思維能力。因此，在教學(xué)中，教師需要巧妙應(yīng)用反例。

一、利用反例明晰概念

在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，會(huì)遇到很多的概念，這些概念是抽象的、凝練的，想要處在抽象思維形成時(shí)期的初中學(xué)生準(zhǔn)確掌握這些概念，教師必須在教學(xué)中予以條分縷析，否則，則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的誤讀。針對(duì)概念中的條件舉出反例，可以幫助學(xué)生識(shí)清概念。

以數(shù)軸為例，數(shù)軸的概念中規(guī)定了數(shù)軸成立的三個(gè)條件：一是原點(diǎn)，二是有方向，三是單位長(zhǎng)度明確，不過(guò)這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定是1。為了讓學(xué)生掌握著三個(gè)條件，教師可以舉出不符合條件的反例，讓學(xué)生判斷是否是數(shù)軸，如圖所示。

（1）

（2）

（3）

以上三個(gè)反例中，（1）沒(méi)有任何一個(gè)條件，（2）缺少方向，（3）沒(méi)有原點(diǎn)，所以這三個(gè)反例都不是數(shù)軸，通過(guò)這三個(gè)反例，學(xué)生對(duì)于數(shù)軸的條件會(huì)形成清楚地認(rèn)知，在應(yīng)用數(shù)軸解題時(shí)便不會(huì)缺斤少兩。

在學(xué)習(xí)概念時(shí)，因?yàn)橹R(shí)的負(fù)遷移，學(xué)生常常會(huì)混淆一些概念。如果教師僅僅依靠正例教學(xué)，學(xué)生恐怕永遠(yuǎn)都會(huì)是一知半解甚至一點(diǎn)不解，對(duì)于概念的掌握只會(huì)停留在片面的字句上。這時(shí)，教師需要大膽地摒棄正例，應(yīng)用反例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清概念的本質(zhì)，避免學(xué)生混淆概念。

以無(wú)理數(shù)為例，無(wú)理數(shù)是在講平方根和立方根時(shí)提到的概念，教材將其定義為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。然而，學(xué)生在判斷時(shí)，常常忽視無(wú)限不循環(huán)這個(gè)概念，錯(cuò)把平方根和立方根當(dāng)做是無(wú)理數(shù)。此時(shí)，教師可以舉出一些反例，比如等，讓學(xué)生判斷是否是無(wú)理數(shù)，通過(guò)這些反例，學(xué)生便會(huì)認(rèn)識(shí)到，不是所有的平方根或立方根都是無(wú)理數(shù)，也就是說(shuō)，平方根或立方根并不是無(wú)理數(shù)的本質(zhì)，無(wú)理數(shù)的本質(zhì)是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)。

二、利用反例明確定理與推論的適用范圍

真理之所以是真理，是因?yàn)槠鋺?yīng)用在一定的范圍內(nèi)，超出了范圍的真理便是謬誤，初中數(shù)學(xué)中的定理和推論也是如此，有著明確的應(yīng)用范圍。然而，在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，卻常常忽視應(yīng)用范圍，導(dǎo)致學(xué)生在做題時(shí)失分。教師可以應(yīng)用反例進(jìn)行教學(xué)，引起學(xué)生對(duì)定理和推論適用范圍的重視，甚至讓學(xué)生做題時(shí)第一時(shí)間要觀察的便是應(yīng)用范圍是否滿足。

以一元二次方程的實(shí)數(shù)根判別式為例，對(duì)于一元二次方程如果方程有實(shí)數(shù)根，則判別條件如果方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，△>0。這里特別需要注意的是因?yàn)楹鲆曔@個(gè)條件，學(xué)生常常會(huì)陷入錯(cuò)誤。此時(shí)教師可以舉一些反例進(jìn)行教學(xué)，比如，如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求t的取值范圍。一定會(huì)有很多學(xué)生根據(jù)題意得出從而求得。可是這個(gè)答案顯然并不正確，因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。此題的正確答案為。通過(guò)這個(gè)例子，學(xué)生便會(huì)對(duì)判別式中這個(gè)條件形成深刻的認(rèn)知，畢竟，疏忽便是錯(cuò)誤。

再以韋達(dá)定理為例，韋達(dá)定理中提到了方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根與方程中常數(shù)的關(guān)系：，這個(gè)定理常常被用來(lái)求取由兩根組成的關(guān)系式的值以及在高中應(yīng)用在平面幾何中，是一種較為便捷解題方式，但是韋達(dá)定理有一個(gè)適用范圍，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根或者是函數(shù)與x軸有兩個(gè)焦點(diǎn)。學(xué)生在使用韋達(dá)定理解題時(shí)，對(duì)于這個(gè)適用范圍常常忽略，為了提醒學(xué)生注意，教師可以舉一個(gè)反例：如果方程的兩根為，求的取值范圍。很多學(xué)生是這樣解答此題的：19。乍一看條分縷析，合情合理，可是這并不是正確答案，如果我們把終點(diǎn)值19代入，即由此解得k=-5，再把k的值代入方程中，方程變?yōu)榭墒沁@個(gè)方程方程并沒(méi)有實(shí)數(shù)根，與題意相違背。這道題學(xué)生錯(cuò)就錯(cuò)在沒(méi)有將方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根考慮在內(nèi)，即忽視了韋達(dá)定理的適用范圍。其實(shí)，這道題的解答還要加上一個(gè)條件在k的這個(gè)范圍內(nèi)，也就是說(shuō)。有此題可以看出忽視適用范圍的過(guò)失之大，可謂是失之毫厘謬以千里。在這個(gè)反例的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以深刻認(rèn)識(shí)到韋達(dá)定理適用范圍的重要性，從而在自己應(yīng)用時(shí)精益求精，強(qiáng)化正確率。

總而言之，初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要應(yīng)用反例，起正例教學(xué)難以匹敵的強(qiáng)調(diào)作用，讓學(xué)生對(duì)概念、定理與推論的諸條件與適用范圍形成清晰的認(rèn)知，嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)生的思維。在教學(xué)中，教師善于應(yīng)用反例，可以提高教學(xué)效率，切忌，不能單純?yōu)榉蠢虒W(xué)而硬造反例。

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