數學解題中妙趣橫生的辯證思維

李紅春

摘 要：數學是一種文化，教學過程中對學生進行辯證思維的啟發和培養，使學生逐步形成一種自覺的辯證思維能力，對學生的終身發展有著重要的意義.在數學教學中，教師可以從抽象與具體、特殊與一般、繁與簡、分與合、主與次、進與退、正與反、靜與動、實與虛等九個方面對數學解題滲透辯證思維.

關鍵詞：數學解題；辯證思維；數學文化

數學辯證思維是從聯系、運動、發展的三個方面來考查對象，它在教學研究和數學學習中起著重要的作用，它是解決數學問題的重要策略，教學過程中教師對學生進行辯證思維的啟發和培養，使學生逐步形成一種自覺的辯證思維能力，對學生的終身發展有著重要的意義.筆者結合近二十年的教學經歷，從九個方面通過實例展示辯證思維在數學解題中的滲透.

一、抽象與具體

高度的抽象性是數學區別于其他學科的最顯著特點之一，善于將抽象概念形象化，抽象符號具體化，抽象問題情境化，抽象方法直觀化，抽象表述通俗化，可以有效降低抽象程度，減輕學生學習的難度.

例1 求證：

解 班上有名學生，其中有名男生，名女生，左邊表示從名學生中選出名學生；右邊表示具體情況：若選出0名男生，則選出名女生；若選出名男生，則選出名女生；……若選出名男生，則選出名女生.故

點評 這是一個典型的將抽象問題情境化的例子，將冰冷抽象的數學式子賦予具體的生活背景，思考起來生動形象，妙趣橫生，讓人難以忘懷.

二、特殊與一般

一般性寓于特殊性之中，并通過特殊性表現出來，通過特殊可認識一般.數學解題中，對特殊問題的研究、感悟、歸納、概括、提煉是解決一般問題的重要策略.

例2 設函數滿足：①對任意實數、都有；②對任意實數均有成立；③不恒等于，當時.試求的值.

解 因為不恒為，故存在實數使得.令，，則

，即

，因，故.

令，，則

，

而，故，

即，于是是偶函數.又，則，于是，因此，因此是以為周期的函數.那么.令，由條件①得：

，所以，又，故；令，由條件①得：，即，再令得：，而，聯立兩式可求得：，，由條件②得：，，故

，

由函數以2為周期，故

=

.

點評 本題求解如此復雜，是如何想到的？其實，首先由已知條件可聯想特例，由特例猜測抽象函數也該有如下性質：如偶函數、有周期性、等，辨別哪些條件對解題有幫助，再一一從一般情況證明，基于這些性質，再將問題解決.

三、繁與簡

當我們面臨的是一道結構復雜、難以入手的題目時，要設法轉化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題.

例3 設正數滿足，求證：

證明：由

，

知，

于是：

同理：，

，

以上三式相加得：

點評 本題從整體上入手比較困難，退回局部分析，局部研究清楚后整體便不攻自破.形式上的簡單，有時是思維上的復雜，形式上的復雜，有時卻是思維的簡單，這同樣是一種智慧.

四、分與合

分類討論是數學中重要的數學思想，很多數學問題因要考慮的情形較多，一般分開研究再綜合一起，但也不能形成思維定式，有時不分反而是一種智慧.

例4 若，，則不等式的解集為_________.

解 由得

，即，

即或.

點評 對于“連不等式”，通常是分成兩個分式不等式單獨求解，再取交集，本題的解答反其道而行，讓人耳目一新，其中蘊含的哲理卻相當深刻，數學解題要善于變通，不可思維單一.

五、主與次

“橫看成林側成峰”，不同的角度看到的問題不盡相同，解數學題要學會統攬全局，尤其是遇到多重限制條件時更要分清主次，換位思考.

例5 從6人中選出4人分別去巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市旅游，要求每個城市有1人游覽，要求每個人只游覽一個城市，且這6個人中甲、乙不去巴黎，則不同的選擇方案共有______.

解法1 以“人員”為主，依次考慮“甲乙都不去”“甲乙只去1人”“甲乙都去”三種情形，則有種.

解法2 以“地點”為主，依次考慮巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市可供選擇的人數，依據分步計數原理，則有種.

點評 本題涉及“地點”和“人員”兩個要素，分析問題時，以哪個要素為“主導”，雖然有隨意性，但難易程度迥然不同.

六、進與退

數學解題就是一個不斷轉化的過程，將未知的轉化為已知的，陌生的轉化為熟悉的，形式繁雜的轉化為形式簡單的過程，但也不是絕對的.

例6 （武漢市2015屆高三二月調考理科第10題）已知點為曲線上任意一點，為坐標原點，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

解 設，則又，于是

.

當且僅當即時，取最小值，故選A.

點評 將簡單的待求式轉化為復雜的式子，然后再配方求解，以退求進，著實讓人意外，乃匠心獨運之作.

七、正與反

“正難則反”本質是一種“轉換”的數學思想，是一種打破常規思維，采用逆向思考的解題策略，但一個問題正面的確很復雜，是否真的需要從反面入手也是充滿智慧，需要因題而異的.

例7 方程、

、至少一個有實數根，求的范圍.

解 設三個方程對應的判別式依次為、、，則

；

；

；

設以上三個范圍對應的集合為，

取其并集得：

.

點評 本題如果不深入思考，從正面入手確實需要分7種情況討論，因此大部分人會選擇從反面入手，但如果你細心理解兩個集合“并集”的概念就是指“元素至少來自其中一個集合”，你會恍然大悟.

八、靜與動

唯物辯證法認為，世間萬事萬物都處于運動狀態之中，運動是絕對的，靜止是相對的，動中有靜，靜中有動.只有在運動的事物中尋求相對的靜止，才能把握事物的本質，只有用運動的觀點看待事物，才能把握事物的全貌，二者是辯證統一的關系.數學中的很多問題，就體現著這樣的辯證關系.

例8 如圖1，已知分別為橢圓的左右焦點，經過橢圓上第二象限一定點的切線為，過原點作交于點，則與的關系是（ ）

A. B.

. D.

分析 作為選擇題，小題不大做，為第二象限上的一定點，從運動的角度看，當趨近橢圓上頂點時，趨近點（如圖2），此時，即；當趨近橢圓左頂點時，趨近點（如圖3），此時亦有，故，選A.

點評 本題題干中指明點為定點，為何分析時偏偏看成動點？這其中是充滿智慧的，動中覓靜，靜中思動，以靜制動，動靜結合，這是數學解題中的辯證法.

九、實與虛

“虛”與“實”實際上是一對對立統一體，解題中如果一味“求實”，有時會“山窮水盡”，智慧的“就虛”有時能“柳暗花明”.

例9 已知，當時恒成立，求正整數的最大值.

解 由 得

，因，則

，

設，

則，

記，，

則，所以在遞增，而，，故存在唯一實根滿足且，當時，，遞增；當時，，遞減，故而，故正整數的最大值為.

點評 函數的零點客觀存在，但精確值無法求出，如果一味糾結，將寸步難行，采用“虛設零點”的方法巧妙將障礙繞過去，體現“避實就虛”的思想.

數學是一種文化，數學教育的基本宗旨是實現“人”的培養，在數學解題中教會學生用辯證的思維看待問題，既能激發大家學習數學的興趣，又能防止思維固化，提高思維的靈活性.endprint