半正定分塊矩陣的幾個奇異值不等式

劉俊同

（阜陽師范學院 數學與統計學院,安徽 阜陽 236037）

半正定分塊矩陣的幾個奇異值不等式

劉俊同

（阜陽師范學院 數學與統計學院,安徽 阜陽 236037）

本文應用Hermitian矩陣的性質、矩陣的分塊技巧以及矩陣的優超技術，證明了半正定分塊矩陣的幾個奇異值不等式。

半正定矩陣；優超；奇異值不等式

奇異值不等式和奇異值分解是矩陣理論的一個重要研究領域，在科學計算、優化問題、最佳逼近等實際應用中都有著重要應用。關于矩陣酉不變范數不等式和奇異值不等式問題是矩陣不等式的研究熱點之一，近年來受到國內外專家學者的廣泛關注[1-4]。文獻[5]研究了矩陣的算術平均-幾何平均以及奇異值不等式；文獻[6-9]討論了一些特殊條件下矩陣的奇異值不等式。本文應用Hermitian矩陣的性質、矩陣的分塊技巧以及優超技術，獲得了半正定分塊矩陣的幾個奇異值不等式。

1 預備知識

為了敘述方便，對符號作如下約定：R表示實數域，Mm,n（或Mn，若m=n）表示復數域上全體n×n矩陣，A?表示矩陣A的共軛轉置矩陣，A⊕B表示分塊對角矩陣。對于Hermitian矩陣A∈Mn，用λi(A),i=1,2,…,n，表示矩陣A的非增有序特征值，σi(A),i=1,2,…,n，表示矩陣A的非增有序奇異值，也就是矩陣的特征值。λ(A)和σ(A)分別表示矩陣A的特征值和奇異值向量，即

給定兩個Hermitian矩陣A,B∈Mn，偏序A≥B按通常意義表示矩陣A-B是半正定的，相應的，A＞B表示矩陣A-B是正定的。給定兩個向量x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)∈Rn，設表示向量x的坐標按非增次序重排后所得向量，若滿足

則稱向量x被y弱對數優超，記作x?wlogy。進一步地，稱向量x被y對數優超，記作x?logy，當k=n時，等式成立，請參見[1]。

2 引理

引理1[3]給定兩個Hermitian矩陣A,B∈Mn，則有

引理2[10]給定兩個Hermitian矩陣A,B∈Mn，則有

引理3[10]給定兩個Hermitian矩陣A,B∈Mn，則有

引理4[8]給定半正定分塊矩陣，其中A∈Mm，C∈Mn，r=min{m,n}，則有

引理5[1]給定分塊矩陣，其中B∈Mm,n，若σ1(B),σ2(B),…,σr(B)為矩陣H的非零奇異值，其中r=min{m,n}，則有

為矩陣B的非增有序特征值。

在當今國有企業的競爭中,人力資源部門的任務不僅僅是為企業招賢納士,在對企業內部的人員管理上,也承擔著重要任務。在國有林場中,員工素質的高低直接影響林場目標和價值的實現,人力資源通過激勵和考核體系,提高員工的積極性,對員工的工作進行評價,能夠激發員工熱情,有利于完成企業目標。三門江林場規模較大，各個崗位員工較多，難以管理。通過制定合理有效的員工績效考核和人才選拔考核制度，可以讓人力資源管理工作井井有條，為林場的員工提供良好的培養系統。

3 主要結果

對j=1,2,…,r,成立。

證明 因為

由引理1，有

所以

對j=1,2,…,r,都成立。

對于k=1,2,…,n都成立。

證明 由引理2和引理5，有

對于k=1,2,…,n都成立。又因為

對于k=1,2,…,n都成立。另一方面，因為

對于k=1,2,…,n都成立。所以，有

對于k=1,2,…,n都成立。

對于k=1,2,…,n都成立。

由引理2，有

再由引理4，有

即

對于k=1,2,…,n都成立。

[1]Horn R A,Johnson C R.Matrix analysis[M].Cambridge：Cambridge university press,2013：279-372.

[2]Horn R A,Johnson C R.Topics in matrix analysis[M].Cambridge：Cambridge university press,1991：134-238.

[3]Zhan X.Matrix inequalities[M].Berlin：Spinger-Verlag,2002：17-25.

[4]王松桂，吳密霞，賈忠珍.矩陣不等式[M].北京：科學出版社，2006：222-288.

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[6]鄒黎敏.矩陣的幾個不等式[J].數學通報，2012，55（4）：715-720.

[7]宮 琴，任芳國.關于矩陣奇異值的不等式[J].紡織高?；A科學學報，2016，29（1）：1-7.

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[10]Zhang F.Matrix theory：basic results and techniques[M],second edition,Springer,2011：102-123.

Inequalities with singular values of positive semidefinite block matrices

LIU Jun-tong
(School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037，China)

In this paper,based on the properties of Hermitian matrix,the techniques of block matrices and the majorization theory,some inequalities for singular values of positive semi-definite block matrices are obtained

positive semidefinite matrix;majorization;singular value inequality

O151.21

A

1004-4329（2017）03-027-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-027-03

2017-06-19

安徽省教學研究項目(2015jyxm225，2016jyxm0754)；阜陽師范學院科研項目(2016FSKJ20)資助。

劉俊同(1982- )，男，博士生，講師，研究方向：矩陣不等式、矩陣方程以及算子理論。