“一類功能反應的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析”一文的注記

魏長城，林 記

（1.銅陵學院 數學與計算機學院，安徽 銅陵 244000；2.阜陽師范學院 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037）

“一類功能反應的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析”一文的注記

魏長城1，林 記2

（1.銅陵學院 數學與計算機學院，安徽 銅陵 244000；2.阜陽師范學院 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037）

本文對“一類功能反應的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析”中功能反應的食餌-捕食者系統重新進行了分析，構造了Dulac函數，利用Bendixson-Dulac定理，給出了系統極限環不存在性的結論，糾正了其中關于極限環存在定理。同時分析了系統在第一象限內軌線的拓撲結構。

捕食系統；Dulac函數；極限環；拓撲結構

2002年，文[1]對如下的系統

做了定性分析。經過分析，發現其中有些處理方法和結論值得商榷。

這里b＞0,A0＞0,A1＞0。同時文[1]依據系統（2）的奇點（0,0）為鞍點，自然誘導出系統（1）的奇點是鞍點，進一步構造外境界線，利用Bendixson定理給出了系統極限環存在定理。但是忽略了在x=0處是不可導的。因此系統（1）和（2）僅在區域D={(x,y)|x＞0,y∈R}上是等價的。因此，考慮到系統(1)的生物意義，本文限在區域上內研究，對文[1]反應的食餌-捕食者系統重新進行了分析，構造了Dulac函數，利用Bendixson-Dulac定理，給出了系統極限環不存在性的結論，糾正了文[1]中關于極限環存在定理。同時分析了系統在第一象限內軌線的拓撲結構。

1 系統（2）的奇點及性態

（1）有限遠奇點分析

基于文[1]，經過計算在上有奇點，當A1≥b時，在上有奇點。

引理1 當A1＞b時，點為系統(2)的鞍點；當A1＜b時，點為穩定結點；當A1=b時，點為高階奇點，且為鞍結點；當A1＞2b時，點為不穩定的結點（或焦點）；當b＜A1＜2b時，點為穩定的結點（或焦點）；當A1=2b時，點為中心。

證明 經計算，有

于是,當A1＞b時，B1為鞍點；當A1＜b時，有detJ1＞0,trJ1＜0和

當A1=b時，此時detJ1=0，于是為高階奇點。此時，對系統(2)做變換。變換以后的仍用x,y記之，于是模型變為

令上式的三次項為零，即

（2）無窮遠奇點分析

令z=0,有u=0。故只有奇點C(0,0)。

所以C(0,0)是不穩定結點。

研究奇點D(0,0)：

做變換T:ξ=v,η=y+P2(x+y)，由隱函數存在定理，在D(0,0)的充分小領域內，存在逆變換

計算得

為了簡單起見，將(4)式寫為

易知k=2,bn≠0,n＜m，故是D(0,0)鞍結點。

2 極限環的不存在性定理

考慮方程

這里P,Q∈C1(G)。

定理 系統（2）在={(x,y)|x＞0,y≥0}上不存在極限環。

證明 由于y=0是系統（2）的積分直線，所以僅需在={(x,y)|x＞0,y＞0}上考慮極限環的存在和不存在問題。

構造Dulac函數，令B(x,y)=xαyβ(x＞0,y＞0)，這里待定α,β。計算

考慮線性代數方程

有唯一解。進一步當A1≠2b時，有α≠0，于是有

利用引理2知系統（2）在上不存在極限環。

定理得證。

3 旋轉向量場

考慮系統(2)，易見只有參數A0變動時向量場(X(x,y,A0),Y(x,y,A0))的奇點不變。

于是對任意點P(x,y)∈,并不能保證上式恒大于0或恒小于0。故系統(2)不是廣義旋轉向量場。

4 系統（2）的全局結構

基于前面結論，給出了系統（2）的全局結構，如圖1所示。

圖1 系統（2）的全局結構

5 結束語

本文對文[1]中的功能反應的食餌-捕食者系統重新進行了分析，構造了Dulac函數，利用Bendixson-Dulac定理，給出了系統極限環不存在性的結論，糾正了文[1]中關于極限環存在定理。得出了較為有意義的結果。

[1]程容福,蔡淑文.一類具功能反應的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析[J].生物數學學報,2002,17(4)：406-410.

[2]陳蘭蓀.數學生態學模型與研究方法[M].北京：科學出版社，1988：174-198.

[3]張芷芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論[M].北京：科學出版社，1985：106-110.

[4]張錦炎，馮貝葉.常微分方程幾何理論與分支問題[M].北京：北京大學出版社，2000：194-197.

[5]岳宗敏，胡志興.一類具功能反應的食餌-捕食者兩種群模型的極限環的唯一性[J].生物數學學報，2005，20（2）：169-172.

[6]吳承強.一類具功能反應的捕食-食餌系統的極限環[J].福州大學學報(自然科學版)，2004，32（4）：410-412.

[7]顏向平，張存華.一類具功能反應的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析[J].生物數學學報，2004，19（3）：323-327.

A note on the paper“A qualitative of a kind of food with functional response-two group types of predators”

WEI Chang-cheng1,LIN Ji2
(1.School of Mathematics and Computer Science,Tongling University,Tongling Anhui244000,China;2.School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037，China)

In this paper,we consider the kind of food with functional response two-group types of predators again,which has already been studied by article“A qualitative analysis of a food with functional response-two group types of predators”.By structuring Dulac function and using Bendixson-Dulac theorem,we give nonexistence of limit cycles on system(1)and correct the existence of limit cycle of(1).Moreover,we analyze the topological structure of the system(2)in first quadrant.

predator-prey system;Dulac function;limit cycle;topology structure

O175

A

1004-4329（2017）03-018-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-018-05

2017-05-05

2017年度高校優秀青年人才支持計劃項目（gxyq2017081）；安徽省質量工程項目（2015jyxm225）資助。

魏長城（1984- ），男，碩士，講師，研究方向：微分方程穩定性。