整矩陣的滿秩分解

王 嬌

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

整矩陣的滿秩分解

王 嬌

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

文章以整矩陣為研究對象，利用保持整矩陣整元素特性的整初等變換，研究了將非零整矩陣分解為列滿秩整矩陣和行滿秩整矩陣的乘積問題，完成了整矩陣的滿秩分解。

整矩陣；整初等變換；滿秩分解

設有元素均為整數的m行n列矩陣A，簡稱A為整矩陣。用表示秩為r的m行n列整矩陣的集合。整矩陣簡單、美觀，便于計算。比如，矩陣的加、減、乘、轉置，計算起來沒有什么難度。不過，在有關矩陣的復雜運算中，例如求解矩陣方程、矩陣對角化、矩陣的初等變換、矩陣求逆、特征值和特征向量計算等，卻無法保持整元素的特性。

在數值計算等研究中，用矩陣的初等變換或廣義初等變換對矩陣的研究較多，但一般意義下，矩陣的初等變換或廣義初等變換不能保持整矩陣的整元素特性。許多學者注意到了這一現象，并且對整矩陣的研究也取得了一些成果。比如，張知難、張景曉、邱森、孫春濤等對整矩陣的分解過程及性質應用等相關結論做了許多研究[1-5]；張凱院等[6]研究了矩陣的滿秩分解。雖然成果豐富，但是有待進一步研究的問題還有很多。本文借鑒矩陣的初等變換法，研究一類保持整矩陣的整元素特性的整初等變換法，并利用這類整初等變換法對整矩陣進行滿秩分解。

1 基本概念

下面定義整矩陣的整初等行變換。

定義2 整矩陣的整初等行變換是指下列三種變換：

(1)互換整矩陣的第i行與第j行，記為Ri?Rj；

(2)用-1乘整矩陣的第i行，記為-1·Ri；

(3)把整矩陣的第j行的非零整數k倍加到第i行，記為Ri+kRj。

對于整矩陣，同樣地可以定義整初等列變換。我們將整初等行變換和整初等列變換統稱為整初等變換。

定義3 對單位矩陣E作一次整初等變換得到的矩陣稱為初等整矩陣。經過定義2中三種整初等行變換都有一個與之相應的初等整矩陣，分別為

同樣，對單位矩陣E作一次整初等列變換所得的矩陣也是上述三類矩陣，即這三類矩陣就是全部的初等整矩陣。

顯然，初等整矩陣都是可逆矩陣，它們的逆矩陣仍是初等整矩陣，且為

2 主要結論

定理1[7]對一個整矩陣A作一次整初等行變換就相當于在A的左側乘上相應的初等整矩陣，對A作一次整初等列變換就相當于在A的右邊乘上相應的初等整矩陣。

證明 利用整初等行變換，可將A化為階梯形整矩陣

該過程如下，由于r＞0，則A中必含有一個非零元素aij∈Z，不妨設a11≠0，且

其中ri1=0或0＜ri1＜a11，qi1,ri1∈Z,則

此時，利用第三種整初等行變換可將第1列中除a11以外的元素全部化為零或大于零小于a11的整數，令r為r21,…,rm1中最小的非零整數。這時有0＜r＜a11，再利用第一種整初等行變換可將r交換至a11位置。同樣，若r能整除新矩陣第1列中其余所有的元素，則又可利用一系列第三種整初等行變換將第1列a11位置（這時是r）以外的其余元素全部化為零。不然，將上述步驟重復進行，則可將正整數r化為比它更小的非零正整數。

由于a11為正整數且為定數，上述每一次變換都將a11化為比它小的正整數，故至多進行有限次后，總能將a11位置的元素化為可以整除第1列中其余元素的正整數a′11，從而可將這些元素化為零。即必可經過若干次整初等行變換化為

對B1按類似過程進行下去，有

3 算例

[1]張知難，張建寧，陳偉侯.整矩陣的MT分解及MT過程[J].數值計算與計算機應用，1994，15（3）：200-205.

[2]張景曉.整數矩陣的性質及應用[J].重慶理工大學學報(自然科學版)，2010，24（4）：117-119.

[3]張知難.化整矩陣為整Hessenberg型的一種整相似變換[J].數值計算與計算機應用，1990，11（3）：251-253.

[4]邱 森，朱林生.高等代數探究性課題精編[M].武漢：武漢大學出版社，2012：212-224.

[5]孫春濤，蹇 紅.關于整數矩陣幾個問題的思考[J].重慶師范大學學報(自然科學版)，2013，30（2）：39-41.

[6]張凱院，徐 仲.數值代數[M].北京：科學出版社，2010：15-17.

[7]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].4版.北京：高等教育出版社，2013：71-75.

[8]Chen B,Lin L,Liu H.Matrix product codes with rosenbloom-tsfasman metric[J].Acta Mathematica Scientia,2013,33(3)：687-700.

[9]王 嬌，張凱院，李書連.多矩陣變量線性矩陣方程的廣義自反解的迭代算法[J].數值計算與計算機應用，2013，34（1）：9-19.

[10]張凱院，王 嬌.一類Riccati矩陣方程廣義自反解的雙迭代算法[J].數學雜志，2015，35（2）：469-476.

[11]王 嬌，張凱院.一類雙變量矩陣方程廣義自反Ls解的迭代算法[J].紡織高校基礎科學學報，2013，26（1）：130-136.

Full rank factorization of integer matrix

WANG Jiao
(Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi046011,China)

The integer matrix is studied in this article.Based on the integer elementary transformation which can keep the integer element properties of the integer matrix,the product problem is considered in order to decompose the non-zero integer matrix into the column full rank integer matrix and the row full rank integer matrix.Accordingly,the full rank factorization of integer matrix is implemented.

integer matrix;integer elementary transformation;full rank factorization

O151.21

A

1004-4329（2017）03-010-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-010-03

2017-05-03

長治學院校級科研項目（201515）資助。

王 嬌（1988- ），女，碩士，助教，研究方向：計算數學。