時滯離散系統的有限時間穩定性分析

康 衛，陳 昊，郝云力

（1.阜陽師范學院 信息工程學院，安徽 阜陽 236041；2.淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北 235000）

時滯離散系統的有限時間穩定性分析

康 衛1，陳 昊2，郝云力1

（1.阜陽師范學院 信息工程學院，安徽 阜陽 236041；2.淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北 235000）

本文主要研究了具有時變時滯的離散線性系統的有限時間穩定性問題。首先構造一個新穎的李雅普諾夫泛函，然后結合離散形式的Wirtiner-based不等式和倒凸不等式技巧，給出了系統有限時間穩定的線性矩陣不等式形式。最后，給出了一個數值實例來詮釋了本文的方法能夠減少系統的保守性以及通過數值仿真說明結果的可行性。

時變時滯；有限時間穩定；離散系統；線性矩陣不等式

時滯現象經常存在于各類實際系統中，如生物系統、網絡控制系統等。然而，由于時滯的存在可能導致系統的不穩定或者較差的性能。因此，對于時滯系統的研究是非常有必要的，特別是對于時滯系統的穩定性研究。于是，近年來許多研究者得到了很多富有成效的結論[1-3]。值得注意的是，大部分的研究成果都是關于連續時間系統的穩定和控制問題。但是，隨著信息科技的飛速發展，對于離散系統的研究尤為迫切，尤其是在計算機仿真和模擬計算過程中通常都需要把連續系統轉化為離散系統。因此，關于離散時間系統的研究也引起了許多學者的注意，也取得的一些結果[3,4,8-11]。比如，文獻[3]研究了離散系統的穩定性問題，文獻[8]研究了離散神經網絡的無源性問題，文獻[10]和[11]給出了具有實際應用背景的兩個數學模型，分別是擺鐘系統和簡易縱向飛行系統。

另一方面，在很多文獻中，在討論時滯系統穩定性時，大部分成果都是研究漸進穩定和指數穩定。但是，有限時間穩定在控制理論中也具有重要的作用。正因為此，也有一些學者研究系統的有限時間穩定并且取得了很多成果[4-7]。比如，參考文獻[6-7]研究了離散時間系統的有限時間穩定問題。但是，目前仍然有很大的空間進一步研究離散系統的有限時間穩定。鑒于此，本文主要研究離散時滯線性系統的有限時間穩定問題。

1 預備知識

本文考慮如下離散系統：

其中，x(k)是系統的狀態變量,A=(aij)n×n,B=(bij)n×n是常數矩陣；時滯τ(k)滿足τm≤τ(k)≤τM；且τm,τM為正整數，ψ(i)是系統的初始條件。另外，定義η(i)=x(i)-x(i-1),ηT(i)η(i)≤δ,i∈{-τM,…,-1}。

接下來的引理和定義對研究時滯系統的有限時間穩定非常重要。

引理1[9]對于給的正定矩陣Z和離散時間變量x(i+)→Rn，當h≥1時，下列不等式成立：

引理2[8]對任意的向量ξ1,ξ2，給定矩陣T,N,參數α＞0,β＞0且

定義1[7]對于給定的矩陣A＞0和k∈{1,2,…,N},離散系統（1）關于(c1,c2,A,N)有限時間穩定，如果

2 主要結果

為方便起見，定義如下矩陣和變量：

定理1 給定參數α＞1，離散系統（1）關于(c1,c2,A,N)是有限時間穩定的，如果存在正定矩陣P,Q1,Q2,Z1,Z2和任意矩陣U1,U2,U3,M∈R2n×2n以及參數λi(i=1,2,…,6)，使得下列不等式成立：

沿著系統（1）計算差分算子得到：

根據引理1和引理2，可以得到：

其中，

另一方面，對于任意的矩陣U1,U2,U3，利用系統（1）方程可以得到：

因此，結合（5）到（14），可以得到結論

根據定理1，有

進一步，可以推導出V(k) ＜αkV(0)。

另外，根據系統（1）的初始條件和構造的李雅普諾夫泛函，有

從而，可以得到

又由于V(k) ＞λ1xT(k)Ax(k)，有xT(k)Ax(k)≤。故系統（1）是有限時間穩定的。證畢。

3 數值實例

例1 考慮系統（1）模型具有如下的參數

在這個例題中當τm=2時，根據定理1可以計算出系統的最大時滯是13，這個結果遠遠好于參考文獻[6]和[7]的結果。另外，系統取不同的最小時滯的情況，具體如表1。

表1 τm取不同的值τM的最大上界

由表1，可以看出該結果遠遠好于參考文獻[6,7]給出的結果，說明了本文方法的優越性。圖1還給出了系統當初始值x(0)=[-1,1]的仿真圖形。由圖1可以看出系統（1）關于(2.1,80,I,80)是有限時間穩定的。

圖1 例1所給系統當初始值x(0)=[-1,1]的仿真圖形

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Finite-time stability for discrete-time system with time-varying delay

KANG Wei1，CHEN Hao2，HAO Yun-li1
(1.School of Information Engineering,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236041,China;2.School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,Huaibei Anhui230039,China)

In this paper,the problem of finite-time stability for discrete-time system with time-varying delay is investigated.By constructing a novel Lyapunov-Krasovskii functional and discrete Wirtinger-based inequality,reciprocally convex approach,the improved finite-time stability criteria are derived in form of linear matrix inequalities.Finally,a numerical example is given to show the less conservatism and effectiveness of the proposed method.

time-varying delay;finite-time stability;discrete-time system;linear matrix inequalities

O231，O193

A

1004-4329（2017）03-001-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-001-04

2017-03-12

安徽省高校自然科學基金重點項目（KJ2016A555,KJ2016A625）；安徽省中青年優秀人才基金項目（gxyq2017158）；阜陽師范學院校級研究項目（2016FSKJ07）資助。

康 衛（1985- ），男，博士生，講師，研究方向：控制工程與應用。