阻尼對(duì)慣性秤測(cè)試影響的研究

支臙，李玥

[摘 要] 實(shí)驗(yàn)室中通常采用慣性秤來(lái)測(cè)量物體的慣性質(zhì)量。但由于裝置簡(jiǎn)陋，裝配精度不高，當(dāng)被測(cè)體與秤臺(tái)之間存在較大縫隙時(shí)，振動(dòng)將會(huì)不同步，此時(shí)就不能將被測(cè)體與秤臺(tái)一起看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是獨(dú)立的兩個(gè)不同步的質(zhì)點(diǎn)。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，該現(xiàn)象對(duì)慣性秤的測(cè)試有一定的影響，會(huì)使得測(cè)試周期變長(zhǎng)，測(cè)得的慣性質(zhì)量偏大，造成該現(xiàn)象的原因是物體與秤臺(tái)發(fā)生摩擦、碰撞造成秤臺(tái)呈現(xiàn)阻尼振蕩。因此在慣性秤測(cè)量物體慣性質(zhì)量時(shí)，必須保證被測(cè)體與秤臺(tái)配合緊密。

[關(guān) 鍵 詞] 測(cè)量；慣性質(zhì)量；慣性秤；阻尼

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）31-0194-04

一、慣性質(zhì)量的測(cè)量方法

根據(jù)牛頓第二定律，物體在恒力F作用下做加速度為a的直線運(yùn)動(dòng)，如果設(shè)法測(cè)出F和a，可求得物體的慣性質(zhì)量。因此我們?yōu)闇y(cè)得物體慣性質(zhì)量，就需設(shè)法測(cè)得F與a的值，測(cè)量F與a的方法有很多種，因此慣性測(cè)量的方法也就有很多種。

（一）單擺法

單擺是能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的一種裝置，將無(wú)重細(xì)桿或不可伸長(zhǎng)的細(xì)柔繩一端懸于重力場(chǎng)內(nèi)一定點(diǎn)，另一端固結(jié)一個(gè)重小球，就構(gòu)成單擺。當(dāng)擺角小于5°

時(shí)有：

m=■ （1-1）

式中：m為慣性質(zhì)量，mg為引力質(zhì)量，T為單擺周期，g為測(cè)量點(diǎn)的重力加速度，l為擺長(zhǎng)。

（二）氣墊導(dǎo)軌法

氣墊導(dǎo)軌法測(cè)量物體慣性質(zhì)量，導(dǎo)軌滑塊質(zhì)量為m0，滑塊上放置標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊mi，F(xiàn)為運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)所受合力。根據(jù)牛頓第二定律F=ma可得運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)加速度a：

■=■+■ （1-2）

a可以測(cè)得：

a=■（■-■） （1-3）

式中：S為光電門之間的距離，d為擋光片的寬度，tA、tB為滑塊上的擋光片在光電門中通過一次擋光片擋光的時(shí)間。

（三）彈簧振子法

以彈簧為動(dòng)力，使得物體在彈簧的作用下做來(lái)回的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，通過測(cè)量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，就可以測(cè)得物體的質(zhì)量。在豎直方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期公式可推算出：

T2=■m0+■mi （1-4）

（四）剛體轉(zhuǎn)動(dòng)法

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量忽略滑輪及繩子的質(zhì)量，假設(shè)摩擦力矩恒定，且a<

（mi+m0）gr=M+I■ （1-5）

式中：M為剛體所受的合外力矩，I為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r為輪塔半徑，h為砝碼下落高度，t為下落到h所有時(shí)間。

因M、I、r、g、h均不變，因此，mi與■成線性關(guān)系，通過測(cè)量不同的已知質(zhì)量的砝碼下落時(shí)間，即可擬合出mi與■的線性關(guān)系方程。通過測(cè)出被測(cè)體下落時(shí)間即可計(jì)算出mi的大小。

（五）復(fù)擺法

復(fù)擺是指在重力作用下，能繞通過自身某固定水平軸擺動(dòng)的剛體。即復(fù)擺是一剛體繞固定的水平軸在重力的作用下作微小擺動(dòng)的動(dòng)力運(yùn)動(dòng)體系，又稱物理擺。復(fù)擺的振動(dòng)周期計(jì)算公式為：

T=2π■ （1-6）

式中：T為復(fù)擺周期，Ic為轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心且平行轉(zhuǎn)軸時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，mg為復(fù)擺質(zhì)量，h為質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離，mi為被測(cè)體質(zhì)量，h1為加上被測(cè)體后復(fù)擺質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離。

測(cè)得不同位置（h1、h2）下的周期（T1、T2），即可測(cè)試mi：

mi=■·■ （1-7）

（六）慣性秤法

慣性秤是用振動(dòng)法來(lái)測(cè)定物體慣性質(zhì)量的裝置，它的主要組成部分為：放置砝碼或待測(cè)物的秤臺(tái)，固定整個(gè)裝置的固定平臺(tái)，連結(jié)固定平臺(tái)和秤臺(tái)的兩條相同的片狀鋼條，幾塊標(biāo)定的砝碼。

設(shè)慣性秤空載的周期為T0，加負(fù)載mi后的周期為Ti，可得周期T與m之間的關(guān)系：

Ti2=■（m0+mi） （1-8）

二、慣性秤

（一）慣性秤工作原理

慣性秤的主要部分是由兩條相同的彈性鋼帶（秤臂）連成的一個(gè)懸臂振動(dòng)體、振動(dòng)臺(tái)、平臺(tái)、固定螺栓、可移動(dòng)臺(tái)面、底座、擋光片和光電門構(gòu)成。

當(dāng)慣性秤沿水平固定后，將秤臺(tái)沿水平方向推開一定的距離（根據(jù)實(shí)際情況來(lái)確定），手松開后，秤臺(tái)及其上面的負(fù)載將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。先測(cè)出空秤（mi=0）的周期T0，再將已標(biāo)定質(zhì)量的砝碼依次增加放在秤臺(tái)上，測(cè)出相應(yīng)的周期為T1、T2……用這些數(shù)據(jù)作T2-mi圖線，再通過運(yùn)算擬合出一個(gè)線性方程。通過測(cè)量加載被測(cè)體后的運(yùn)動(dòng)周期，即可計(jì)算出被測(cè)體的質(zhì)量。

慣性秤的優(yōu)點(diǎn)為：（1）可以在失重狀態(tài)下測(cè)試物體的慣性質(zhì)量；（2）測(cè)量靈敏度較高；（3）測(cè)試精度較高；（4）測(cè)試儀器及測(cè)試方法簡(jiǎn)單。

慣性秤的缺點(diǎn)為：（1）秤臂、秤臺(tái)一定要嚴(yán)格的保持水平；（2）測(cè)量范圍較窄；（3）引起誤差的因素較多。

（二）引發(fā)慣性秤誤差的因素

從慣性秤的結(jié)構(gòu)和其工作原理來(lái)分析，引發(fā)慣性秤測(cè)試誤差的主要因素有以下幾個(gè)。

1.秤臂秤臺(tái)水平問題

如果秤臂秤臺(tái)沒有水平，而與水平面有一定的夾角θ，經(jīng)過推導(dǎo)，得出周期T與夾角θ的關(guān)系為：T=2π■，因此當(dāng)秤臂與水平夾角較大時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。

2.運(yùn)動(dòng)水平問題

撥動(dòng)秤臺(tái)不水平會(huì)造成秤臺(tái)在豎直方向存在運(yùn)動(dòng)分量，及秤臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡不再是水平左右的線段，而是一個(gè)橢圓，此時(shí)振動(dòng)仍屬于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)周期會(huì)發(fā)生一定的變化。

3.秤臂K值變化問題

不管任何彈性物體，當(dāng)其產(chǎn)生形變時(shí)，其K值肯定會(huì)變化，而具體的變化量就跟彈性物體的材質(zhì)、形狀及變化情況有關(guān)了，當(dāng)K值不再恒定，其周期T肯定會(huì)發(fā)生一定的變化。

4.阻尼問題

慣性秤的振動(dòng)過程中肯定會(huì)消耗一部分能量，因此其振動(dòng)一定是阻尼運(yùn)動(dòng)，至于阻尼的來(lái)源我們可以分成兩種情況，一種是外在的因素引起的，如：空氣阻力、秤臂來(lái)回折疊時(shí)的分子摩擦力等，該因素會(huì)引起運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的合力不為零；另一種是內(nèi)在因素引起的，如：秤臺(tái)與被測(cè)體之間的碰撞、摩擦，被測(cè)體自身的碰撞與摩擦（被測(cè)體為顆粒或液體時(shí)），該因素作用下運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)所受合力仍然為零。

（三）阻尼對(duì)測(cè)量的影響

從阻尼的定義及其物理意義上看，阻尼肯定是對(duì)振動(dòng)有影響的，直觀的可以觀看到幅度會(huì)有明顯下降，而頻率的影響需要進(jìn)行計(jì)算和測(cè)試。

解有阻尼的振動(dòng)特征方程方程：

？姿2+2？孜ω？姿+ω2=0 （2-1）

設(shè)解為：y=Be？姿t，其特征值：

？姿1，2=ω（-？孜±■） （2-2）

一般解：

y（t）=B1e■+B2e■ （2-3）

y（t）=e-？孜ωtAsin（ωrt+a） （2-4）

式中：A=■a=tan-1■

角速度：

ωr=ω■ （2-5）

振幅：

Ar=Ae-？孜ωt （2-6）

由此可見當(dāng)阻尼系數(shù)ξ<1時(shí)，振動(dòng)周期會(huì)隨著阻尼系數(shù)的增大而增大。當(dāng)ξ≥1時(shí)，就不能形成有效的振動(dòng)了。

三、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

（一）實(shí)驗(yàn)器材設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)秤臺(tái)與被測(cè)體之間的碰撞與摩擦，我們制作了如圖1所示的被測(cè)體；其余器材采用正常測(cè)量時(shí)的器材。

我們一共制作了六個(gè)被測(cè)體：？椎=18 mm、h不同的被測(cè)體兩塊；？椎=16 mm、h不同的被測(cè)體兩塊；？椎=14 mm、h不同的被測(cè)體兩塊。以驗(yàn)證被測(cè)質(zhì)量、間隙不同對(duì)慣性秤測(cè)量影響有何不同。

（二）實(shí)驗(yàn)原理設(shè)計(jì)

如果被測(cè)體與秤臺(tái)配合過松時(shí)，在運(yùn)動(dòng)過程中，被測(cè)體與秤臺(tái)就會(huì)發(fā)生相對(duì)位移，如圖2（見下頁(yè)）所示，此時(shí)就可能不能將被測(cè)體與秤臺(tái)一起看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，而是獨(dú)立的兩個(gè)不同步的質(zhì)點(diǎn)，明顯的被測(cè)體的運(yùn)動(dòng)幅度大于秤臺(tái)的振動(dòng)幅度。通過這樣的設(shè)計(jì)，使得被測(cè)體與秤臺(tái)之間會(huì)發(fā)生摩擦與碰撞，形成有效的阻尼振蕩。

（三）實(shí)驗(yàn)方法設(shè)計(jì)

1.調(diào)節(jié)慣性秤平臺(tái)水平，調(diào)整慣性秤臺(tái)及秤臂水平。

2.將被測(cè)體置于秤臺(tái)中，將秤臺(tái)沿水平方向推開恒定的距離進(jìn)行測(cè)試。

3.對(duì)空秤臺(tái)進(jìn)行測(cè)試，然后逐漸增加砝碼進(jìn)行測(cè)試，增加10個(gè)砝碼。

4.取下所有砝碼，放入被測(cè)體，再次測(cè)試振動(dòng)周期，并根據(jù)擬合的線性方程計(jì)算出測(cè)得的被測(cè)體質(zhì)量。

5.根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析作用機(jī)理，并得出合理的結(jié)論。

（四）實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)

1.選取適當(dāng)?shù)谋粶y(cè)體，使得振動(dòng)周期足夠多，建議能達(dá)到10～20次周期數(shù)以上。

2.振動(dòng)幅度不能太大，以免被測(cè)體從秤臺(tái)中脫落。

3.每次實(shí)驗(yàn)應(yīng)采用相同的周期數(shù)來(lái)記錄時(shí)間。

4.每步實(shí)驗(yàn)做三次，取其平均值，最后測(cè)被測(cè)體的時(shí)候建議做五次取平均值。

四、測(cè)試結(jié)果

（一）測(cè)試數(shù)據(jù)

第12、13行為？椎=18.00 mm，h不同的被測(cè)體；第14、15行為？椎=16.00 mm，h不同的被測(cè)體；？椎=14.00 mm的被測(cè)體在振動(dòng)過程中達(dá)不到20個(gè)周期數(shù)就沒有記錄數(shù)據(jù)。該實(shí)驗(yàn)儀器秤臺(tái)距離為20.36 mm。

（二）數(shù)據(jù)處理

1.用一元線性回歸法處理數(shù)據(jù)

（1）列方程

T2=■m0+■m1

令xi=mi yi=T2 b0=■m0 b=■m1

∴y=b0+bx

（2）列表

其中Vxi=xi-x Vyi=yi-y ∑Vxi2=lxx ∑Vyi2=lyy ∑Vxiyi=lxy

（3）解方程：

b=■=■≈0.001617099 s2/g

b0=y-bx=0.270927738-0.001617099×124.91≈

0.068935885 s2

∴m0=■=■≈42.62935003 g

??？鄯=3.14

則k=■=■=24.41310908 kg/s2

∴T2=0.068935885+0.001617099mi

mi=618.3912771T2-42.62935003

2.線性回歸結(jié)果分析

根據(jù)表3計(jì)算的數(shù)據(jù)來(lái)看，在被測(cè)體與秤臺(tái)配合間隙較大時(shí)，測(cè)出的質(zhì)量和實(shí)際的質(zhì)量還是有較大區(qū)別，阻尼對(duì)慣性秤的是有影響的。我們對(duì)比這4組數(shù)據(jù)，序號(hào)1和2直徑相同質(zhì)量不同（m1>m2），3和4也是直徑相同質(zhì)量不同（m3>m4），但質(zhì)量大的明顯比質(zhì)量輕的誤差大一些。3和4的直徑小于1和2的直徑，但3和4的誤差均大于1和2的誤差，而且小徑為14 mm的兩個(gè)被測(cè)體因振動(dòng)周期數(shù)不夠20而無(wú)法測(cè)試（阻尼太大、振幅衰減太快），這說明間隙越大，阻尼越大。對(duì)比2和3的數(shù)據(jù)可以看出：質(zhì)量接近時(shí)，間隙越大阻尼越大，且間隙的影響比質(zhì)量的影響大得多。

五、總結(jié)與展望

從被測(cè)體的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值的差異對(duì)比來(lái)看，慣性秤的阻尼隨被測(cè)體的質(zhì)量增加而增加、隨被測(cè)體與秤臺(tái)之間的間隙增大而迅速增大，符合公式ωr=

ω■中阻尼對(duì)頻率的影響趨勢(shì)。

通過此次的實(shí)驗(yàn)，很好地詮釋了當(dāng)被測(cè)體與秤臺(tái)之間存在間隙是會(huì)對(duì)測(cè)試結(jié)果產(chǎn)生影響的，因此我們?cè)跍y(cè)量時(shí)，必須將砝碼或者被測(cè)體與秤臺(tái)配合緊密。

通過對(duì)測(cè)試儀器儀表的分析，主要誤差除了前面提到的幾大因素外，還與測(cè)量?jī)x器有關(guān)，如計(jì)時(shí)器的誤差、天平的誤差、光電門的誤差。因此慣性秤的測(cè)量精度還可以通過不同的改進(jìn)方法進(jìn)行改進(jìn)和提升，因此為進(jìn)一步提高慣性稱的測(cè)量精度，我們還可以進(jìn)一步進(jìn)行大量的公式推導(dǎo)、摸索和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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