淺析微積分應(yīng)用的若干問題

華冬云

[摘 要] 在實際工程中，人們可結(jié)合實際情況使用微積分對各種實際問題進(jìn)行解決，與此同時利用微積分也可對幾何學(xué)、力學(xué)等知識理論進(jìn)行相應(yīng)的展示，可以使其具有較強的清晰性，使學(xué)生更加容易對其進(jìn)行充分了解與掌握。所以對微積分思想進(jìn)行了解與掌握，并根據(jù)實際情況在各種問題中對微積分思想與知識進(jìn)行靈活使用可較好地對問題進(jìn)行充分解決。

[關(guān) 鍵 詞] 微積分；應(yīng)用；分析

[中圖分類號] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）31-0120-01

一、工程中的微積分思想

在實際生活中對工程實際問題進(jìn)行解決時，可將其相關(guān)流程無限小地分割成相應(yīng)的區(qū)域，再將范圍無限小的區(qū)域進(jìn)行科學(xué)分割被稱為微分。其中對各個無限多微元結(jié)果進(jìn)行求和就是積分，這也是微積分的主要思想。另外，微積分主要是高等數(shù)學(xué)中對函數(shù)的積分、微分、相關(guān)理念與使用進(jìn)行研究的一個數(shù)學(xué)分支。同時，其也是數(shù)學(xué)知識中的重要組成部分，主要內(nèi)容通常包括積分知識、微分知識、極限與應(yīng)用等。其中微分知識主要為求導(dǎo)數(shù)的計算，屬于變化率理念中的一種。其可使速度、函數(shù)、曲線等同時使用相同的符號進(jìn)行分析與探討。積分主要包含積分計算，為面積、體積等供給統(tǒng)一的方法。在通常情況下，學(xué)生多可以對各種較為規(guī)整圖形的面積進(jìn)行計算，但若要對曲邊梯形等面積進(jìn)行計算，過程中則需要對微積分知識進(jìn)行相應(yīng)的使用。

例如：y=f（x）在其閉區(qū)間c，d中為非負(fù)連續(xù)，在直線x=c，x=b，y=0與曲線y=f（x）所組成的圖形就屬于曲邊梯形。在對其面積進(jìn)行計算時，可結(jié)合實際情況在區(qū)間c，d中加入相應(yīng)的分點，將區(qū)間c，d分成若干個區(qū)間，在y=f（x）連續(xù)性的作用下，致使其函數(shù)值在各小區(qū)間中的變化情況相對較小，A≈■y=f（xi）■，也就是曲邊梯形面積的相似值，在其接近無窮大時，A=■■y=f（xi）■就為曲邊梯形面積的準(zhǔn)確數(shù)值。在這種情況下，對分積分思想與方法進(jìn)行使用可以較好地對曲面梯形面積計算問題進(jìn)行解決。

二、微積分知識解題的主要流程

人們在使用微積分方法對相關(guān)的工程問題進(jìn)行解決時主要流程分別為：首先，結(jié)合實際工程為制定合理的坐標(biāo)系，對積分微元進(jìn)行明確，同時在微分區(qū)域中利用近似值對準(zhǔn)確值進(jìn)行替換。其次，對所有微元值進(jìn)行累計求和，對微積分的上限與下限進(jìn)行確定。最后，結(jié)合實際問題對合理的積分方法進(jìn)行使用，并對原函數(shù)值進(jìn)行計算，真正對實際問題進(jìn)行解決。

例如，一個盛滿水的瓶子，其縱截面如圖所示，是拋物線y=ax2（a>0），在其斜角α為何值時，瓶中的水正好倒掉■。

解析：首先，結(jié)合問題對瓶裝豎立滿水時的體積用相應(yīng)的積分進(jìn)行表示，其結(jié)果為V=■，其次，設(shè)瓶子傾斜角度為α?xí)r瓶子剛好倒掉一般的水，以此為基礎(chǔ)制訂相應(yīng)的坐標(biāo)系，其中這時瓶子的對稱成為y軸，與瓶子對稱軸層垂直狀態(tài)的射線為x軸，之后再將平面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為正常的立體圖形，這時瓶中水橫截面圖為拋物線與瓶中水面之間的公共范圍，應(yīng)注意的是這時水面所處的直線與x軸之間的傾角正好為問題中所需要解答的傾斜角α，（如圖所示，傾斜后瓶中水平面與x軸成平成狀態(tài)，所以水面與瓶子的對稱夾角應(yīng)為90°-α，也就是在對新坐標(biāo)系中，瓶中水面所屬的直線與y軸夾角的度數(shù)也為90°-α，因此其與x軸夾角為α），這時結(jié)合實際問題設(shè)其直線方式為y=tanαx+b設(shè)直線與拋物線交點分別為A（x0，y0），B（sqrt（■），h），其中A在左側(cè)，B在右側(cè)，B點縱坐標(biāo)與瓶子的高度（h）相同，這時通過B點的坐標(biāo)對直線截距b進(jìn)行計算，再將直線與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，就可對A點的坐標(biāo)進(jìn)行明確。最后，對當(dāng)前瓶子中水的體積進(jìn)行計算，同時可根據(jù)實際情況將圖進(jìn)行兩部分分割，第一部分為直線y=y0，與拋物線相交的部位。第二部分為y=y0，直線y=tanαx+b與拋物線y=ax2（a>0）相交的部分，第一部分體積經(jīng)過計算為V1=■π（x2）dy=■■（該積分上限為0，下限為y0），第二部分體積為V2=■（sqrt（■）-■/2）2dy（該積分上限為y0，下限為h），所以在根據(jù)V1+V2=V/2=■=■■+■（sqrt（■）-■/2）2dy，進(jìn)而求得α的值。

通過這一例題，我們可以較為明顯地發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生對微積分知識進(jìn)行充分掌握的同時，還應(yīng)對其主要流程進(jìn)行了解，這樣可以更好地促使學(xué)生的解題能力提升。

綜上所述，使用微積分對實際問題解決重點是進(jìn)行相應(yīng)的分析，結(jié)合實際問題對微元進(jìn)行科學(xué)的選擇、制訂相應(yīng)的微分、明確問題主要目標(biāo)、確定問題初始條件等，這樣可以更好地提高學(xué)生對實際問題的解決質(zhì)量與速度，為學(xué)生的發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉洪辰.淺析微積分應(yīng)用的若干問題[J].佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2015（5）：252-253.

[2]張穎，孫旭春.高職微積分概念教學(xué)方法淺析[J].職業(yè)教育研究，2013（9）：112-114.