在分數解決問題教學中滲透數學思想

方梅

在分數解決問題教學中，我們常常發現，學生在單一訓練時，正確率較高，但在綜合練習中就容易出錯。究其原因，在單一訓練時，題型單一，毫無變化，很多學生依樣“畫葫蘆”，機械化操作。但在綜合練習時，問題變化多端，學生無法憑借固定的模式機械模仿，再加上對各類問題的特征模糊不清，對各種數量關系一知半解，錯誤也就層出不窮了。那么，如何克服這些問題，讓分數解決問題教學更有效呢？筆者認為，教師在教學生學習分數解決問題基本技能的同時，更要不失時機地對學生進行數學思想方法的滲透，使學生在學好基礎知識、掌握基本技能的同時，提高數學素養。

一、滲透類比思想，遷移數量關系

類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上的思想。

在教學“分數解決問題”的第一節課時，我是這樣引入教學的：甲數是10，乙數是甲數的2倍，乙數是多少？學生輕輕松松解決問題后，我讓學生總結并板書數量關系：甲數×2倍=乙數。接著，我將其中“2倍”依次改為1.5倍、[32]、[23]，引導學生小結：數量之間的關系有時說成幾倍，有時說成幾分之幾，只是情境所致，說法不同而已。所以，求一個數的幾倍用乘法計算，求一個數的幾分之幾也用乘法計算，理解時可以把分數當作倍數來思考。

通過搭建倍數問題與分數問題的知識橋梁，讓學生看到它們之間的內在聯系，實現數量關系的正遷移，加強對知識的理解與掌握。在單元測試卷上有這么一道試題：光明小學的女教師比男教師多45人，男教師人數占女教師人數的[413]，男教師有多少人？有一些學生就借助類比思想，將它遷移成五年級列方程解應用題的最后一個例題形式來解決。此題既不是已知標準量，也不是求標準量，是比較復雜的分數問題。如果用解決分數問題的一般思路去思考與解答，此題有一定難度，但是如果類比遷移到倍數問題中，此題難度就會大大降低。所以，滲透類比的數學思想，還可以大大減輕學生的學習負擔。

二、滲透數形結合思想，理解數量關系

數形結合思想是通過數與形的相互轉化，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的思想方法。

在教學“兩步計算的分數乘法解決問題”時，我提供給學生一份材料：一本書，小明第一天看了32頁，第二天比第一天多看了[18]，第二天看了多少頁？要求學生先用線段圖表示題意，再根據圖示分析數量關系，然后列式解答。結果學生在直觀的線段圖的啟示下，紛紛有了自己的理解。于是，我有針對性地實物投影以下幾種不同解題方案（圖略）。

思路一：從圖上可以看出，第一天看的32頁代表8份，可以先算出1份是4頁，而第二天看的頁數相當于有這樣的9份，所以，32÷8×9=36（頁）。

思路二：從圖上可以看出，第二天看的頁數比第一天多[18]，表示第二天比第一天多看的頁數是第一天的[18]，求32頁的[18]是多少頁，可以先算出第二天比第一天多看的頁數，然后再加上第一天看的頁數，算式便是32+32×[18]=36（頁）。

思路三：從圖上可以看出，第二天看的頁數比第一天多[18]，也就是說第二天看的頁數相當于第一天的[98]，即（1+[18]），要求第二天看的頁數，就是求第一天看的頁數的[98]是多少頁，用32×（1+[18]）=36（頁）計算便是。

顯然，在教學分數解決問題時，由數想形，以形助數的數形結合思想，可以使問題直觀呈現，有利于學生豐富認識，引發聯想，啟迪思維，拓寬思路，提高分析問題和解決問題的能力。

三、滲透比較思想，厘清數量關系

所謂比較，就是指在思維中對兩種或兩種以上的同類研究對象的異同進行辨別。

在教學“分數解決問題”時，當學完所有的基本類型后，需要對所有不同形式的問題進行縱橫比較，設計相應的題組進行對比練習，找出它們之間的異同，厘清數量關系。

題組1：（1）一本書有150頁，已經看了這本書的[35]，已經看了多少頁？（2）一本書有150頁，已經看了這本書的[35]，還剩下多少頁？

學生分別用一步和兩步乘法計算解決問題后，教師引導學生比較：為什么第一題用一步計算，而第二題卻要兩步計算？通過交流，學生厘清了數量關系“一本書的頁數×[35]=已看的頁數”和“一本書的頁數×（1-[35]）=還剩的頁數”，所以兩題相應地用一步計算和兩步計算解決。教師再引導學生討論：解答此類題目時要注意什么？學生再次交流并明白，首先要明確比較量相當標準量的幾分之幾是已知還是未知，即找準比較量與標準量的對應關系，以確定一步計算還是兩步計算。

題組2：（1）一件衣服原價800元，現在降價[18]，現價多少元？（2）一件衣服現價800元，降價[18]，原價多少元？

學生分別列式解答，然后教師引導學生比較：為什么第一題用乘法解決，而第二題卻用除法（或方程）解決？通過交流，學生認為數量關系“原價×（1-[18]）=現價”是兩題的基本數量關系。不同的是，第一題是已知原價，求現價，就是求800元的（1-[18]）是多少，所以用乘法解決。而第二題是已知現價，求原價，就是已知原價的（1-[18]）是800元，求原價，所以用除法（或方程）解決。

在分數解決問題練習中，設計題組進行訓練，不僅有效地滲透了比較思想，還滲透了對應的思想和聯系的思想。因此，教師對于這樣的習題，訓練中千萬不能走過場，要充分發揮比較的價值，促進學生解決問題后進行深入思考，真正厘清數量關系，提高解決問題的正確率和熟練程度。

四、滲透變換思想，溝通數量關系

變換思想是解決數學問題的重要策略之一，它是將一種思維形式轉變成另一種思維形式的數學思想。

在分數解決問題教學時，可以把復雜分數問題中的數量關系變換為簡單問題的數量關系。出示例題：六（6）班男生有24人，女生比男生少[16]，女生有多少人？圍繞關鍵句，引導學生變換說法，一種是，女生比男生少的人數正好是男生的[16]；另一種是，女生人數是男生人數的[56]，即（1-[16]）。相應有兩種不同解題方案與解題思路：24-24×[16]，先求男生人數的[16]是多少人，也就是女生比男生少的人數，再用“男生人數-少的人數=女生人數”最終解決問題；24×（1-[16]），先明確女生人數相當于男生的（1-[16]），再用“男生人數×（1-[16]）=女生人數”最終解決問題。這里，不管怎么理解、變換關鍵句，始終都沒有脫離“求男生人數的幾分之幾是多少人”這個數量關系。所以，通過關鍵句的變換，溝通了數量關系是“求一個數的幾分之幾是多少”的一步計算與兩步計算分數問題。

除上述方法之外，還可以把分數問題與整數、比、按比例分配問題互相變換；把用這種數量關系解決的問題變換成與之相關的，但卻是用另一種數量關系解決的問題，等等。教學中，教師應把隱含于數學知識中的變換思想充分揭示出來，利用各種手段加以滲透，使學生在解決問題過程中厘清數量關系，形成知識結構網，并且拓展解題思路。

數學知識點和數學思想方法，匯成了小學分數解決問題知識結構系統的兩條線——“明線”和“暗線”。在教學中，教師不能重“明線”而輕“暗線”，教給學生數學知識的同時，要重視挖掘知識發生、形成和發展運用過程中所蘊藏的數學思想方法，不失時機地滲透數學思想方法，把數學思想方法融到思維活動中去，并反復運用數學思想方法，使其在解決問題中不斷深化，從而促進學生數學綜合素質的提高。

（作者單位：浙江省海寧市實驗小學）

（責任編輯 冉 然）