基于MPCK的數學解題方法及教學啟示

徐珊　廖小勇

【摘要】我國當前進行的新課程改革，對數學教師的專業發展提出了更高的要求.本文結合具體中學數學解題案例，淺述優化數學教師MPCK的兩點啟示：（1）數學解題方法教學是數學教學的重要組成部分，教師應將MPCK教育理論與教學實踐相結合；（2）教師要建構起自己的MPCK，將其內化為教師解釋、認識、評價教學解題方法教學過程的框架和模型，從而有助于數學教師進一步發展專業知識。

【關鍵詞】數學教師；MPCK；數學解題；教學啟示

【基金項目】本文系黃岡市教育科學研究院研究生工作站研究項目“初中數學教師MPCK現狀調查與發展策略研究”（JSXM2016012）資助.此段話請務必保留。

【中圖分類號】O1-4 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）07-0191-02

一、研究背景及問題

20世紀80年代中期，美國著名教育家舒爾曼（Shulman）最早提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），即教師專業知識結構理論，他把教師的專業知識分為七類，其核心是學科教學內容知識（Pedagogical Content Knowledge），簡稱PCK。此后，國外許多學者對此作了大量研究。綜合其觀點：就數學教育而言，掌握豐富的數學學科知識并不能有效地促進教師的專業發展，教師更需具備“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）.它是三個基本集合MK、PK、CK的公共部分。其中，數學學科知識（Mathematics Knowledge）簡稱MK，一般教學法知識（Pedagogical Knowledge）簡稱PK，有關數學學習的知識（Content Knowledge）簡稱CK。

進入21世紀，我國進一步實施了教育新課程改革，對數學教師的專業發展提出了更高的要求，其目的是讓教育滿足時代的教育需求。然而，在數學新課程改革的現階段，許多數學教師在教學當中仍然存在著教育學知識與學科知識保持著分離，教師在實際的學科教學實踐中難以結合所學的教學理論等問題。為此，國內學者們關注并借鑒了舒爾曼所提出的PCK的概念，提出了運用MPCK解決數學教師的專業發展和新課程改革中出現的教學相關問題。數學教師專業發展的核心問題就是發展他們MPCK，同時MPCK也是區分高水平教師與一般教師的重要特征之一。

一些專家學者和教師已經對MPCK進行了研究和實踐，如朱紅梅指出，教育體系不斷發展完善，學校注重學生的全面發展，PCK 對于促進高質量教學及培養教師的高素養有著重要作用[1]；鄭明筑以“函數的單調性”一課為例，基于PCK結構談談如何有效地進行數學概念教學[2]；楊小麗選擇勾股定理這個內容研究了數學教師MPCK[3]。賀明榮結合解題案例，提出了優化數學教師的MPCK，促進專業發展的思考[4]；陳子薔、胡典順、何穗等人詳細的闡述了中國目前MPCK的研究背景、研究進展、研究前瞻[5]；李渺、寧連華對MPCK的構成成分表現形式及其意義進行了論述，并指出MPCK 對數學教師的專業發展意義重大，它有助于數學教師進一步加深對教師專業的認識，有助于數學教師進一步發展專業知識[6]。

本文試結合具體數學解題案例，淺述如何優化數學教師的MPCK的教學啟示，以期幫助數學教師思考促進專業發展問題，以期同行指正。

二、基于MPCK解題的案例分析

數學知識和技能的學習，離不開數學解題，即使學生理解了數學概念、定理等，對于數學知識未必熟練掌握，也不一定能具有計算能力、數據處理能力、推理能力等。數學知識和技能的鞏固只有在相應的數學問題情境中才能體現，學生必須通過處理相應的問題，將數學知識和技能內化，才能真正掌握。

下面我們將結合教學實例，基于MPCK結構，談談教師應如何有效地進行數學解題方法教學。

例1.已知，求證.

MPCK（職前教師）：將二元轉化為一元進行求解.因為，所以，代入不等式左邊得：

.

MK的視角：本題涉及教師對初中教學大綱的把握，并且涉及到二次函數最值得求解問題。

PK的視角：解題伊始，學生不知從何下手去解決這道題，只知道一個條件，就是，并且要求的問題中含有兩個未知數，且未知數的次數都是2，像這類二元二次方程問題以前的學習中很少見過。因此，教師在講解的過程中，引導學生將二元轉化為一元進行求解，降低運算難度從而達到了簡化題目的目的。在教學的方法上應采用嘗試、探究，合理點撥等多種方式激發學生的思維。

CK的視角：當前，初中數學教材對代數及函數有關知識的要求有所提升，初中生對這部分知識相對而言，其熟悉的程度不低，但運用不夠靈活，教師需要引導學生對這部分的相關知識做適當的拓展與深化，體驗滲透化歸、轉換等數學思想方法。

MPCK（經驗教師）：將原問題，看成點P（1，1）到直線的距離問題。可以看成點P（1，1）到直線上的點（a，b）的距離，即求兩點之間的距離的取值范圍。通過分析可知，點P（1，1）到直線的距離為點P（1，1）到直線上點（a，b）的距離的最小值。用點到直線的距離公式得：

MK的視角：本題涉及教師運用點到直線的距離公式，將代數問題轉化為幾何問題加以解決的情況。

PK的視角：在具體的教學中，可引導學生觀察不等式的結構特征，再通過引導學生的發散思維，將特征進一步顯性化，教師可采取嘗試、探究、啟發等手段，以實現合理引入點到直線的距離計算，并利用點到直線的距離公式解題。

CK的視角：由于高中學生具有一定的認知水平，可以讓他們在更抽象意義下認識問題，體驗解題的策略與方法。

例2.過橢圓內一點（1，0），引動弦AB，求AB的中點M的軌跡。

MPCK（職初教師）：設AB的斜率為k，得直線AB的方程，求點A，B坐標，再求中點M坐標，消去k，得軌跡方程。endprint

設過點D的直線AB的方程：………… （1）

又…………（2）

聯立（1）（2）兩式，可得：，整理得：.

所以：

.

從而，整理得：；

，整理得：.

所以有，因此點M的軌跡方程為.

MK的視角： 本題是教學大綱要求掌握的知識點，主要考察圓錐曲線的相關求解。

PK的視角： 在具體教學中，圓錐曲線這類題目有較為固定的解題方法，可引導學生自行探索解決，其思路雖簡單，但運算量較大；

CK的視角： 不同的學生對該題所采取的切入方式不盡相同，應針對他們的認知實際水平啟發他們對解決問題進行方法的優化與問題本身的適當拓展。

MPCK（經驗教師）：設點，AB中點，則有

， …………（3）

且成立 .

由（3）式中兩式相減，可得： ，又 ，聯立兩式得：

.

MK的視角：線段中點坐標公式及圓錐曲線相關知識的靈活運用，數學知識的橫向聯系，對問題的歸納與推廣。

PK的視角：本題涉及教師在解題教學中如何立足課本，將問題還原到學生已有的知識水平和思維層次下，如何從不同的角度看到全局，將所學知識連貫起來綜合解決問題。在實際教學中，可采取獨立思考與合作學習相結合，并注意啟發與引導等多種恰當的教學方式。

CK的視角：對不同認知水平的學生應注意他們理解到什么程度，并能解決到何種層次等均需針對具體情況而定。

三、基于MPCK解題的教學啟示

1.數學解題方法教學是數學教學的重要組成部分，教師應將MPCK教育理論與教學實踐相結合

學生數學能力提高的具體表現在于解題的質量而非數量。顯然，分析和研究典型題目的解題思路、探究解題過程不僅是學生學會解題和掌握數學技能的有效途徑，而且對發展學生的思維、提高學生分析問題和解決問題的能力大有裨益。顯然，在數學解題方法研究的過程中我們必須將MPCK 運用于整個教學過程中。有研究表明，經驗教師的MPCK較職前教師豐富，經驗教師更能了解學生在學習特定內容方面的思維特點；在診斷學生的錯誤概念方面，雖然職前教師也能發現學生的錯誤，但不能很好地揭示學生錯誤的本質，而經驗教師能夠根據知識之間的前后聯系，識別出學生錯誤的根本原因，并能從相關概念的意義入手，通過多種表征方法，啟發學生理解概念的本質。這正是MPCK教學理論與教學實踐是否相結合的具體表現。

總之，數學教師不僅自己要知道有關數學知識，而且還要在解題過程中向學生解釋這些數學知識，引導學生將所學知識運用于實際問題當中。此外，數學教師還要知道學生的學習疑難點以及準備用什么樣的教學策略來解決這些疑難點等等，所有這些都需要數學教師將數學學科知識、學生思維特點方面的知識以及其他方面的知識融合起來，即需要MPCK。

2.教師要建構起自己的MPCK，將其內化為教師解釋、認識、評價教學解題方法教學過程的框架和模型

MPCK不僅豐富了數學教師專業知識的學習內容，而且凸顯數學教師專業知識的發展途徑。解題是數學教師的一項基本功，在平時的教學過程中，教師要學會并適應將MPCK運用于數學課堂教學。MPCK 的實踐性表明，教師知識的發展與教師的教學實踐緊密聯系。也就是說一名教師不可能僅僅通過閱讀有關MPCK的知識而成為一名優秀教師，教師的學習離不開教學實踐。正如西方學者奧卡肖特所言：“（有種知識）僅存在于實踐中，并且獲取它的唯一方法是通過學徒制來掌握。這并不是因為師傅能教他，而是因為這種惟有通過持續不斷地與長期以來一直實踐的人相接觸才能獲得。”同時，在整個教學實踐學習過程中，教師需要仔細觀察優秀教師的教學，用“心”學習其中的教學智慧，從而構建自己的MPCK。這樣，才能使自己不斷獲得教育教學的真諦，才能使自己得到迅速的成長。

教師一旦建構起自己的MPCK，就會內化為教師解釋、認識、評價教學事件的框架和模型，并以這種框架或模型去分析、論證、評價教學中的問題，形成個人獨有的處理各種教學問題的原則和方法。正如人們常說的“教學既是科學也是藝術”，數學教學科學化即為數學教師的專業化，數學教師需要專門的職業訓練，也要有特殊的職業要求。以上案例表明開展MPCK的研究，優化數學教師的MPCK對促進教師的專業化成長具有重要意義。我認為，選擇代表性的案例對職初和在職教師進行定期的專業化培訓，從不同的角度向教師演繹高等數學中所蘊含的解題方法及數學思想，引導教師在初、高中數學與高等數學之間建立縱向聯系，豐富教師的數學內容知識（MK）和數學教學方法知識（MPK），前移數學研究的立足點等，是幫助中學數學教師的MPCK的發展與重建，提高自身數學素養，從一般教師向高水平教師轉化的一個有效途徑。

四、結語

以上案例表明基于MPCK開展的研究數學解題方法教學的質量與數學教學的成敗有著直接的關系，優化數學教師的MPCK對促進教師的專業化成長具有重要意義。教師不僅應將MPCK教育理論與教學實踐相結合，而且教師要建構起自己的MPCK，將其內化為教師解釋、認識、評價教學解題方法教學過程的框架和模型。這樣才能有助于數學教師進一步加深對教師專業的認識，有助于教育學知識與學科知識更好的與教學實踐相結合，有助于數學教師進一步發展專業知識。

參考文獻

[1]朱紅梅.PCK 視角下初中數學若干難點概念教學的研究[J].中學生數理化·教與學，2015，（6）：67.

[2]鄭明筑.PCK視角下的數學概念教學——以“函數的單調性”一課為例[J].數學教學研究，2016，35（6）：16-19.

[3]楊小麗.勾股定理的MPCK內涵解析[J].數學通報，2011，50（3）：40-43.

[4]賀明榮.淺析MPCK視角下的解題教學[J].中學數學，2013，（19）：27-29.

[5]陳子薔，胡典順，何穗.中國目前MPCK研究綜述[J].數學教育學報，2012，21（5）：15-18.

[6]李渺，寧連華.數學教學內容知識（MPCK）的構成成分表現形式及其意義[J].數學教育學報，2011，20（2）：10-14.endprint