基于AMA的均值—方差模型在大類資產配置中的應用

徐皓

[摘 要]隨著FOF基金逐步進入投資者的視野，關于大類資產配置的方法和策略越來越被重視。首先，文章對H.M.Markowitz在1952年提出的均值—方差模型進行了闡述和分析，總結其優點和缺陷。其次，針對經典模型存在的缺陷，文章引入考夫曼自適應移動平均線，建立了基于AMA的均值—方差模型。改進后的模型可以有效降低經典模型對歷史數據的依賴性。最后，文章運用該模型對中證全指、中證全債、Wind商品指數進行資產配置，回測期為2007年1月1日到2016年12月31日，3個月換倉一次，取得了年化 21.46%的收益，最大回撤率為 19.79%，夏普比率為 1.43，整體回測結果理想。

[關鍵詞]均值方差模型；考夫曼自適應移動平均線；大類資產配置

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.28.059

在公募FOF發展的初期，如何對大類資產進行配置和選擇是公募FOF發展初期的重點。文章對Markowitz（1952）提出的經典的均值—方差模型進行了闡述和分析，總結其優缺點，并在其基礎上引入考夫曼自適應移動平均線系統（AMA）對模型進行改進和優化，以期建立更加完善的大類資產配置模型。

1 經典的均值—方差模型

Markowitz（1952）提出的均值—方差模型首次將數理統計分析方法引入金融領域，將風險定義為收益率的波動率。該模型的基本思想是：基于理性投資行為“回避風險”“非滿足性”等特點，以給定收益水平下最小化風險或者在給定風險水平下最大化收益為約束目標，求解最優的資產配置組合。

1.1 模型的基本假設

（1）投資者在進行每一次投資決策時，其投資依據是某一持倉時間內資產收益的概率分布。

（2）投資者根據投資標的的期望收益率估測風險。

（3）投資者的決策僅僅依據投資標的的風險和收益。

（4）不考慮交易費用、個人所得稅等因素的影響，即市場無摩擦。

（5）投資者是理性的，即在給定風險水平下期望收益最大或者在給定收益水平下期望承擔的風險最小。

1.2 均值—方差模型的構建

基于上述假設，假設存在n種投資標的，若R=（r1， r2， r3， …， rn）T為各類投資標的期望收益率，w=（w1， w2， w3， …， wn

經典的均值方差模型較為簡單，能夠在收益與風險之間尋找適應投資者需要的均衡點。但是，模型求解投資組合時，收益與風險的微小變化會改變有效組合構成，缺乏穩健性，使得投資者在模型的實際應用中往往僅能得到次優組合。同時，模型傾向于選擇具有歷史高收益或低風險的資產，而其他質量相對較差的資產分配0權重，并沒有實現風險充分分散，違背了模型的本來目的。

2 基于AMA的均值—方差模型

如前文所述，經典的均值—方差模型存在一些不足，直接使用該模型往往達不到預期的效果，為了增強模型在實踐中的表現，我們對該模型進行以下改進。

第一，模型易受到誤差放大機制的影響，傾向于對相對低收益、高風險的資產分配0權重。針對該缺陷，我們對各類資產持有比重設置下限5%。

第二，投資組合權重的變化依賴于歷史數據，難以根據市場及時調整，對此從兩個方面修正：①考慮一種極端情形，若短期內（60個交易日）某一標的虧損超過10%，為實現風險規避，設置下期該類型資產持有比例小于或等于10%；②采用考夫曼自適應移動平均線平滑資產價格，計算趨勢下未來一段時間內資產期望收益率。

2.1 考夫曼自適應移動平均線（AMA）

佩里·考夫曼的自適應移動平均線（AMA）是一個經典的技術指標，既可以消除短周期均線帶來的噪聲，又可以避免長周期均線的滯后性。當市場快速沿著趨勢方向移動時，AMA使用快速移動平均；當價格橫盤調整時，AMA使用慢速移動平均。

利用AMA進行未來一段時間移動平均線的構建方法如下：

AMAt=AMAt-1+c*（Pt-AMAt-1）（2）

其中AMAt表示價格在持倉期內第t天的移動平均值，Pt表示標的資產在持倉期內第t天的實際價格。考夫曼自適應移動平均線的一個要點是如何確定系數c。為了計算系數c，在此需要引入三個概念：價格方向、波動性和效率系數。

價格方向Direction是指T個時間間隔中標的資產價格的凈變化。波動性Volatility即為市場噪聲的數量，是T個時間間隔中每個時間間隔的價格變化絕對值的總和。效率系數（ER）是價格方向與波動性的比值，計算如下：

ER=DirectionVolatility=PT-P1T-1t=1Pt+1-Pt（3）

效率系數的值在0～1之間，當ER=1時，標的資產價格變動趨勢明顯，系數接近短周期系數Fastest，Fastest=2/（m1+1），m1表示短周期均線長度。當ER=0時，標的資產價格變動波動性較大，波段明顯，系數接近長周期系數Slowest，Slowest=2/（m2+1），m2表示長周期均線的長度。

建立效率系數ER與系數c之間的聯系，將系數c定義為：

c=[ER×（Fastest-Slowest）+Slowest]2（4）

將式（4）代入式（2）即可得到考夫曼自適應移動平均線，第t天的AMA自適應均線計算值為：

2.2 基于AMA的均值—方差模型

基于以上分析，用考夫曼自適應移動平均線替代資產實際價格計算趨勢下未來一段時間資產的期望收益率，可以降低均值—方差模型對歷史數據的依賴性。

用AMA替代資產實際價格，則資產i的期望收益率和資產i收益率的標準差分別可表示為：

由上述模型可以計算出每一持倉期資產組合的最優權重w，再根據各期各資產的實際收益率和權重可計算出各期投資組合的收益，從而可以計算資產組合的累計收益率和年化收益率。

3 回測檢驗

對基于AMA的均值—方差模型，設定考夫曼快速、慢速均線長度分別為5天、60天，設定風險厭惡系數λ=3，運用該模型對中證全指、中證全債、Wind商品指數進行資產配置，回測期為2007年1月1日到2016年12月31日，3個月換倉一次，回測結果如下：

基于AMA的均值—方差模型回測結果

從表1可以看出：過去十年，策略取得5.63倍絕對收益，年化收益率達21.46%。風險方面，策略年化波動率為13.24%，最大回撤19.79%。基于AMA的均值—方差模型Sharp比率為1.43，整體回測結果較為理想。

參考文獻：

[1] W Jahnke.The Asset Allocation Hoax[J].Journal of Financial Planning，2004（4）.

[2] Markowitz，HM.Portfolio selection[J].The Journal of Finance，1952（2）.

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