基于切換系統下的DC型養老金的資產配置問題

劉譽潔

[摘 要]近年來，由于企業養老金本身發揮的作用越來越大，金融市場的不斷動蕩以及人口老齡化的加劇，對養老金的資產配置的研究越來越深入。文章將給付損失最小化作為目標函數，研究在養老金積累與支付的統一框架下，繳費與工資有關的養老金的資產配置問題，將資產置于與收益率有關的切換系統的投資組合中，利用隨機最優控制理論，建立HJB方程，求解得出資產配置的最優比例以及給付水平的顯式解。

[關鍵詞]切換系統；DC型養老金；資產配置

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.28.055

1 引 言

隨著經濟的快速發展以及人們對未來生活水平要求的提高，養老金作為人們未來生活的保障在我國社會保障體系中發揮著舉足輕重的影響。人口老齡化的加劇以及不斷動蕩的金融市場也對養老金的資產配置問題提出了更高的要求。目前，企業養老金主要分為兩種類型，一種是給付確定型（DB型）養老金，另一種是繳費確定型（DC型）養老金。給付確定型養老金由企業采取統一賬戶的方式對養老金投資進行統一的管理，養老金領取者退休后給付額是事先確定的，只需根據投資收益來調整繳費額，投資的風險由企業承擔。繳費確定型養老金采用個人賬戶的方式對養老金進行投資，養老金領取者的繳費額是事先確定的，未來的給付額則隨著投資收益的變化而變化，投資風險由個人承擔。由于各種不確定性因素使給付確定型養老金承擔的風險越來越大，繳費確定型的養老金因成功地將養老金的投資風險轉移給投保人而被廣泛應用。目前，我國養老金主要采用DC型養老金的形式，經研究發現，在風險投資組合中，資產配置決定了投資的大部分的收益，因此DC 型養老金的資產配置問題成為了研究的熱點。

Merton（1971）[1]最早提出了運用隨機控制的方法來研究養老金最優資產配置問題，并將其用于投資消費決策中，給研究DC型養老金的資產配置提供了一種新的思路，之后隨機最優控制理論在養老金的資產配置中的應用越來越廣泛，如：Jianwu Xiao等（2007）[2]在風險資產價格服從CEV模型的假設下，運用隨機最優控制方法建立HJB方程并求得養老金最優投資策略的解。雖然CEV模型較之幾何布朗運動來說，對風險資產的不確定性做了更好的解釋，但這個模型很難求解并且波動率隨著風險資產價格的升高而減小的情況與現實不符。王力平、張元萍（2014）[3]假定死亡率服從指數分布，風險資產收益服從擴散過程，將養老金的積累過程與發放過程置于統一框架中，運用隨機最優控制方法建立并求解HJB方程，得到統一框架下考慮死亡率的DC型養老金的最優資產配置比例，結果顯示養老金積累階段風險資產的投資比例比養老金支付階段的比例低，但死亡強度的逐漸減小，使支付階段的風險資產投資比例的變化過程變得相對緩慢。張初兵、榮喜民、常浩（2013）[4]假定風險資產服從CEV模型，將工資看作一個隨機變化的過程，基于對數效用函數，研究有隨機工資過程的DC型養老金的最優投資問題。Ball&Torous（1983）[5]證實了金融市場中風險資產的價格會因突發性事件的影響而呈現跳躍現象。趙培標、李遠帥（2014）[6]則考慮風險資產的價格服從跳—擴散過程，將最大化期末財富的效用作為目標函數，運用隨機最優控制方法建立基于對數效用函數的HJB方程，求解得出最優資產配置比例，并進一步研究工資服從跳—擴散過程，目標函數為均值—方差模型的DC型養老金的最優資產配置問題。

葉燕程、高隨祥（2007）[7]將給付損失最小化作為目標函數，研究在固定繳費和隨機繳費兩種情形下，DC型養老金的最優投資策略和給付水平并運用蒙特卡洛方法對固定繳費的DC型養老金進行仿真模擬，得到最優投資比例隨時間的推移而增大，而最優給付水平則出現相反的變化過程。Gerrad（2006）[8]將最小化財富水平的損失作為目標函數，得出了DC型養老金在有限時間和無限時間的情況下的最優投資問題的解。Paolo Battocchio等（2004）[9]用最大化財富效用作為目標函數，效用函數選取指數效用函數，得出考慮隨機利率過程、隨機通貨膨脹過程的最優資產配置比例。Cairns等（2006）[10]基于冪效用函數的條件下，得出考慮隨機工資過程的最優資產配置比例。將期末財富最大化作為目標函數，很難在現實中有很好的應用，由于效用函數的形式有多種，而效用函數的選擇又沒有統一的標準，因此效用函數的選擇在實際的操作中面臨很大的困難。鑒于效用函數的局限性，文章假定一個理想化的預期支付水平，將實際支付水平與預期支付水平差的平方的最小值作為目標函數。

然而，前人研究的DC型養老金的資產配置問題，未考慮到預期收益率對DC型養老金的最優投資比例的影響。當出現風險資產的預期收益率低于無風險資產的預期收益率的情形時，投資于風險資產的收益率不僅低而且還需承擔風險，此時DC型養老金的最優投資比例有待研究。文章在預期收益率影響下的，將原本投資于風險資產的部分資產在風險資產和無風險資產之間進行切換，研究切換模型下的DC型養老金的最優投資比例。文章將實際支付水平與預期支付水平之間的差額平方的最小值作為目標函數，通過建立HJB方程并求解得到最優投資比例和給付水平的解。并對養老金的積累階段與支付階段分別進行討論，得出退休前與退休后（即養老金積累階段與發放階段）的最優投資比例和給付水平。

2 模型建立

2.1 金融市場

在金融市場中，由兩基金分離定理，市場由風險資產和無風險資產兩部分組成。文章僅考慮將養老金投資于一個風險資產和一個無風險資產。無風險資產的動態價格變化過程服從下面的微分方程：

風險資產的動態價格變化過程服從下面的微分方程：

其中，r是無風險利率，r0是投資于風險資產的預期收益率，S0（t）是無風險資產在t時刻的價格，S1（t）是風險資產在t時刻的價格，μt是風險資產動態價格變化過程的漂移系數，σt是風險資產動態價格變化過程的擴散系數，Wt是標準布朗運動。endprint

假定養老金投資于風險資產的比例為πt，投資于無風險資產的比例為（1-πt）。由于市場因素的影響風險資產有很大的波動，很有可能出現風險資產的預期收益率低于無風險的預期收益率的情況，此時養老金持有者不會將養老金投資于風險資產，基于這種情況，文章將切換模型置于DC型養老金的資產配置問題中。投資價值的動態變化過程為：

2.2 養老金市場

已知繳費確定型養老金每期的繳費額或繳費率是確定的，文章假定繳費確定型養老金每期的繳費率是確定的，繳費率是一個常數k（k>0），繳費人在t時刻的工資水平為L（t），繳費人在t=0時刻開始繳費，退休時間為T。

繳費確定型養老金每期的支付額P（t）是不確定的，取決于養老金的投資收益。

2.3 養老金的財富過程

設養老金的財富水平為Rt，并且根據收益判斷養老金投資于風險資產和無風險資產的比例。在養老金的財富過程中考慮養老金的積累或支付過程，可以得到養老金財富滿足如下的微分方程：

2.4 目標函數

已知繳費確定型養老金的資產配置問題一般圍繞最小化投資風險和最大化期末財富這兩個最優化問題進行研究。文章給定了一個預期支付水平P1，定義了二次損失函數，將最小的實際支付水平與預期支付水平之間的差額平方作為目標。將目標函數寫作：

3 最優化問題求解

綜合目標函數以及養老金的財富過程，建立下面的最優化問題：

4 數值分析

4.1 養老金積累階段

當0

4.2 養老金支付階段

當t>T時，φt=0，即為退休后的養老金支付階段，此時πt=-（μt-r）Rt+P13rRtχσ2t，P（t）=ρ+2r+（μt-r）2σ2t-P13r-Rt+P1，無須對養老金進行繳費，只需根據投資收益對養老金進行支付。若χ=0，此時投資風險資產的預期收益率低于投資無風險資產的預期收益率，仍將全部養老金投資于無風險資產以獲得更大的收益。若χ=1時，πt=-（μt-r）Rt+P13rRtσ2t，當Rt<-P13r時，投資于風險資產的比例πt隨風險資產波動率σt增大而降低，隨風險資產風險溢價（μt-r）增大而提高，隨預期支付額P1的增大而提高。最優支付額P（t），隨風險資產波動率σt增大而減小，隨風險資產風險溢價（μt-r）增大而增大，隨預期支付額的增大而增大。

5 總 結

文章將給付損失最小化作為目標函數，研究在養老金積累與支付的統一框架下，繳費與工資有關的養老金的資產配置問題，將資產置于與收益率有關的切換模型的投資組合中，利用隨機最優控制理論，建立HJB方程，求解得出資產配置的最優比例以及給付水平的顯式解。結論顯示，基于切換模型下的DC型養老金的資產配置，相較于其他模型在投資收益方面有更明顯的優勢且承擔更小的風險。本文還將養老金的積累階段與支付階段分開討論，研究繳費與工資有關的情況下，投資于風險資產的比例與工資之間的關系，可以看出，積累階段的風險資產的投資比例隨工資的增大而增大。支付階段有預期支付額的情況下，投資于風險資產的比例與預期支付額之間的關系，可以得到，支付階段的風險資產的投資比例隨預期支付額的增大而增大。在今后的研究中，可以考慮工資水平含跳躍項的情況下，對DC型養老金的投資比例的影響，且本文的研究沒有考慮通貨膨脹這個因素，而通貨膨脹的影響是不可避免的。

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