噪聲與單頻聲波非線性互作用規(guī)律

楊德森，劉慶，時潔，張昊陽，時勝國，胡詩涌

(哈爾濱工程大學 水聲技術實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

噪聲與單頻聲波非線性互作用規(guī)律

楊德森，劉慶，時潔，張昊陽，時勝國，胡詩涌

(哈爾濱工程大學 水聲技術實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對隨機噪聲和單頻波在非線性介質中的互作用現象，本文研究其傳播過程中不同頻率的能量演化規(guī)律，討論隨機噪聲場在加入強單頻波后對其功率譜的影響規(guī)律。從Rudenko 推導的噪聲和單頻波的非線性互作用方程出發(fā)，理論研究其中能量在不同距離的功率譜變化，并利用有限差分方法，數值求解噪聲與單頻波非線性互作用過程中不同距離的功率譜。給出了不同情況下強單頻波對隨機噪聲能量在頻域范圍的重新分配規(guī)律，結果表明：對于高頻波頻率比噪聲頻率高的情況，噪聲的能量被調制到高頻及其諧波兩側；高頻波頻率在噪聲頻帶內會使原噪聲在頻域展寬；有限振幅噪聲能量的轉換效率在加入高頻波情況下將會提高。

非線性聲學； 噪聲； 能量轉移； 非線性互作用； 聲調制； 有限差分； 伯格斯方程

Abstract：Focusing on the interaction between random noise and single- frequency waves in a nonlinear medium, this study investigated the energy evolution law that governs the propagation of different frequencies. The effect of the random noise field on its power spectrum after the addition of the strong single- frequency wave is also discussed. The change in the energy power spectrum at different distances is investigated on the basis of the nonlinear interactive equation of noise and single- frequency wave deduced by Rudenko. In addition, the power spectrum at different distances in the nonlinear interaction between noise and single- frequency wave is numerically solved through the finite difference method. The redistribution law of strong single- frequency wave against random noise energy in the frequency scope under different situations is also provided. When the frequency of the high- frequency wave is higher than that of noise frequency, the noise energy is modulated to both sides of the high frequency and its harmonic wave. The frequency of the high- frequency wave extends the original noise within the noise frequency band. The transformation efficiency of the noise energy in the finite amplitude will increase after the addition of the high- frequency wave.

Keywords：nonlinear acoustics; noise; energy transfer; nonlinear interaction; sound modulation; finite difference; Burgers equation

隨機噪聲與單頻波在非線性介質中傳播時，兩者的相互作用會導致各自能量在頻域上的重新分配，對該問題的研究具有重要的實際應用價值，如利用強單頻波控制隨機噪聲能量在某一頻段增加或者減小以及控制噪聲能量由某一頻段轉移到另一頻段[1]。文獻[2]在空氣聲管中試驗觀察了弱噪聲與強單頻的非線性傳播畸變，并從Earnshaw解出發(fā)仿真了不同距離的功率譜變化，其理論和實驗結果吻合較好，但未給出解析結果。Rudenko等利用簡單波解和相關函數法推導了隨機噪聲和單頻波相互作用過程中不同距離功率譜的解析表達式，包括隨機噪聲和單頻波相互作用過程中噪聲受到單頻波影響后的能量變化、單頻波在加入隨機噪聲后的能量變化、相互作用后產生的新頻譜能量的變化[3-8]。但該推導過程相對復雜，其結果仍需借助計算機進行數值計算，且得到的功率譜只是在高頻頻率附近能量變化，而對于高頻及其倍頻的情況沒有考慮[9]。杜功煥等提出了一種有限振幅無規(guī)聲波相互作用的理論，即將Fenlon理論由單頻波的相互作用理論推廣到窄帶隨機噪聲的情況，但該理論只適用于窄帶情況[10-12]。

本文以Burgers方程為模型，推導了任意發(fā)射波形即任意隨機噪聲與單頻波相互作用的功率譜隨距離的演化規(guī)律，以高斯分布噪聲為例分析加入強高頻波后其能量的變換規(guī)律，并利用有限差分法數值計算不同距離處聲信號的功率譜[13]。結果表明，強高頻波對隨機噪聲具有頻率展寬、高頻能量增強的效果，能量被分配至高頻及其倍頻的兩側。

1 噪聲與單頻波的非線性互作用理論分析

分析聲波非線性互作用，并以描述非線性聲波的Burgers方程為模型，在不考慮頻散情況下其一維形式為

(1)

u(τ,x)=u0(η)=u0(τ+β′ux)

(2)

由傅里葉變換和傅里葉反變換得

(3)

將上述兩式合并，令τ′=η-β′ux得

(4)

如果考慮吸收效應，則

(5)

其中

(6)

當令u0(η)為隨機函數，所對應的問題即是要討論的與噪聲相關的問題。不同邊界條件對應相關函數為

B(τ1,τ2;x)=〈u(τ1,x)u*(τ2,x)〉

(7)

將u(τ,x)的表達式代入式(7)得

(8)

其中

假設邊界條件是確定信號和隨機信號的疊加，即

u0(η)=f(η)+ξ(η)

(9)

式中：f(η)是確定的函數，ξ(η)是服從正態(tài)分布的隨機過程，且均值為零，自相關系數為

(10)

式中：σ2=〈ξ(θ)2〉是隨機過程自相關函數在零點的取值即此隨機過程的強度，式(8)中的統(tǒng)計平均可以化為

〈exp(iβx(ω1u0(η1)-ω2u0(η2)))〉=exp·

(11)

則相關函數可以表示為

e(σβ′ωx)2R(η1-η2)dη1dη2

(12)

其中

(13)

針對單頻聲波和噪聲相互作用的情況，令f(θ)=Asin(ω0θ)，即聲波是頻率為ω0的正弦信號。此時可以化簡得到其相互作用過程中的功率譜密度隨距離的變化關系，表示如下

S(ω,x)=S1(ω,x)+S2(ω,x)+S3(ω,x)

(14)

其中

φ(η)=2β′Aωsin(ω0η/2)

χ(η)=-iωη-σβ′ωx[1-R(η)]

式中：S1為噪聲成分ξ(η)在傳播過程中考慮單頻波影響時的非線性畸變； J0[φ(η)]為考慮該影響的修正； 當單頻波幅值A為零,S1為隨機聲波在非線性介質中的傳播規(guī)律；S2為聲傳播過程中由于兩者相互作用產生的新的頻率成分；S3為單頻波在考慮了噪聲的影響后的傳播規(guī)律，當令噪聲的強度σ2為零后，所得到的結果就成了Bessel- Fubini解。進一步將上式轉化可得如下公式：

(15)

令噪聲的相關系數為

R(η)=(1-2γ2η2)e-γ2η2

(16)

得

(17)

假設單頻波質點振速幅值A=0.2，頻率f0=10 kHz，噪聲的均方差σ=0.1，γ=1 000，如圖1所示相互作用過程中產生的新的頻譜成分Sf,ξ(ω,x)。從圖1(a)可知在邊界位置即距離聲源0 m處，在10 kHz兩側聲能量為0，隨著距離的增加，在高頻波兩側將出現兩個邊帶，且邊帶能量隨距離逐漸增大，如圖中0.8 m和1.2 m，開始右側峰大于左側峰，隨后幅度開始減小，左側峰值大于右側峰值。圖中1.6 m處，傳播距離不斷增大，兩峰逐漸趨向重合成為一個峰，且峰值在高頻的左側位置。圖1(b)表示噪聲與單頻波在非線性介質中傳播時不同距離的能量變化的灰度圖，從該圖可以更容易得到上述結論。

圖1 不同距離噪聲與單頻波相互用產生的新頻譜成分Fig.1 The power spectrum of noise with monochromatic wave depending on distance

如果沒有單頻波，則令單頻波質點振速幅值A=0，假設噪聲的均方差σ=1，γ=1 000，仿真距離是0～10 m。其能量轉移規(guī)律如圖2所示，有限振幅噪聲在非線性介質中傳播時能量一部分向高頻轉移，另有一部分向低頻轉移，對應于功率譜峰向低頻移動，該現象是由于沖擊波形成距離處傳播速度不一致，導致間斷面的重合造成的。圖3是有強高頻波存在時噪聲能量轉移規(guī)律，當有強單頻波存在時，噪聲的能量轉移效率被增強，相同距離能量向其他頻率轉換更多。

圖2 噪聲與單頻波相互作用的功率譜隨距離變化(A=0)Fig.2 The power spectrum of noise with monochromatic wave depending on distance

圖3 噪聲與單頻波相互作用產生新頻譜成分(A=1)Fig.3 The power spectrum of noise with monochromatic wave depending on distance

3 非線性互作用數值仿真分析

3.1 單頻波頻率高于噪聲頻率

利用有限差分方法計算，邊界條件的設置分別按照只有噪聲及噪聲疊加單頻波兩種情況，仿真時單頻波是4 kHz，聲源級200 dB，噪聲是中心頻率800 Hz帶寬1/3倍頻程的信號，噪聲方差為單頻波的1/100，此時高頻頻率相對于噪聲頻率高很多，仿真結果如圖4所示。圖4(a)是只有噪聲情況下不同距離的功率譜，這種情況下的噪聲能量不隨距離改變，因為噪聲幅度較小，非線性畸變較小。圖4(b)是加入強單頻后的功率譜隨距離的變化，結果表明噪聲在加入強單頻波后，在單頻波頻率及其倍頻兩側出現了兩譜峰，且隨著距離的增大兩譜峰也隨之增大，這與上述理論推導結果一致。圖4(c)～(f)分別對應0、0.5、1和2.5 m的聲信號功率譜，其中黑色表示只有噪聲情況，灰色表示噪聲和單頻互作用的情況，這說明隨距離的增長，強單頻對噪聲在頻率上進行了調制。

3.2 單頻波頻率在噪聲頻帶內

仿真時強單頻波是1 kHz，聲源級200 dB，噪聲是0～1.1 kHz帶寬信號，噪聲方差為單頻波幅度的1/100。此時強單頻波頻率在噪聲頻帶內，如圖5所示。噪聲在該介質中傳播仍然沒有非線性畸變，其功率譜不隨距離變化；當加入單頻波后，在高頻部分同樣出現較強的噪聲，且隨距離不斷增大，噪聲帶寬不斷增大，高頻噪聲級也隨之增大，受高頻及其倍頻對噪聲頻譜的調制，原噪聲演變?yōu)閹捀鼘挼倪B續(xù)噪聲。

3.3 有限振幅噪聲與單頻波的互作用

上述仿真結果對應于噪聲幅度較小的情況，噪聲在傳播過程中波形沒有非線性畸變，當噪聲幅度較大，其傳播過程本身由于各階頻率之間的相互作用而發(fā)生能量轉移。此時如果有強噪聲存在，對原始噪聲功率譜有何影響有待分析討論，仿真時單頻波是1 kHz，聲源級200 dB，噪聲是中心頻率800 Hz帶寬1/3倍頻程的信號，噪聲方差與單頻波的幅度相等。如圖6(a)所示，無單頻波存在時噪聲本身在介質中傳播會就有諧波產生。如圖6(b)所示，當有單頻波存在時，在相同距離處噪聲頻帶更寬，諧波位置處噪聲級更大。說明強單頻波的存在使得能量往高頻噪聲轉移的效率更高，圖6(c)～(f)表明除了能量往高頻成分轉移外，由于噪聲各頻率成分之間的相互作用，產生了差頻，能量有一部分轉移到低頻部分。

圖4 單頻波頻率高于噪聲頻率情況下功率譜隨距離變化Fig.4 The power spectrum of noise with monochromatic wave depending on distance

圖5 單頻波頻率在噪聲頻帶內時功率譜隨距離變化Fig.5 The power spectrum of noise with monochromatic wave depending on distance

圖6 有限振幅噪聲與單頻波非線性互作用能量轉移隨距離變化Fig.6 The power spectrum of finite- amplitude noise with monochromatic wave depending on distance

4 結論

1)強高頻波對弱低頻隨機噪聲具有頻率展寬和高頻能量增強的效果，能量被分配至高頻及其倍頻的兩側；

2)高頻頻率在噪聲帶寬內時其噪聲能量被拓展至更高頻率，形成帶寬更寬的連續(xù)譜；

3)如果噪聲能量較強，則除噪聲本身的非線性畸變引起的能量轉移外，單頻波也會使高頻能量增加更快，說明該情況下噪聲的能量轉移效率更高。

[1] HAMILTON M F, BLACKSTOCK D T. Nonlinear acoustics[M]. Pittsburge: Academic Press, 1998.

[2] WEBSTER D A, BLACKSTOCK D T. Collinear interaction of noise with a finite- amplitude tone[J]. The journal of the acoustical society of america, 1978, 63(3): 687.

[3] RUDENKO O V, CHIRKIN A S. Theory of nonlinear interaction between monochromatic and noise waves in weakly dispersive media[J]. Journal of experimental & theoretical physics, 1975, 40(5): 945.

[4] RUDENKO O V. Interactions of intense noise waves[J]. Soviet physics uspekhi, 1986, 29(7): 620-641.

[5] RUDENKO O V, SOLUYAN S I. Theoretical foundations of nonlinear acoustics[M].Pittsburge: Springer- verlag Newyork Inc, 1977.

[6] RUDENKO O V, GURBATOV S N, DEMIN I Y. Absorption of intense regular and noise waves in relaxing media[J]. Acoustical physics, 2014, 60(5): 499-505.

[7] RUDENKO O V. Nonlinear interactions of regular and noise spectra in intense radiation from a piston in a linear medium[J]. Acoustical physics, 1998, 44(6): 717-721.

[8] GURBATOV S N, RUDENKO O V, DEMIN I Y. Nonlinear propagation and decay of intense regular and random waves in relaxing media[J]. Recent developments in nonlinear acoustics, 2015, 10: 1685.

[9] RUDENKO O V. Nonlinear integro- differential models for intense waves in media like biological tissues and geostruc- tures with complex internal relaxation- type dynamics[J]. Acoustical physics, 2014, 60(4): 398-404.

[10] 杜功煥, 龔秀芬, 朱哲民. 有限振幅無規(guī)聲波(噪聲)非線性相互作用理論[J]. 聲學學報, 1982, (1): 3-9. DU Gonghuan, GONG Xiufen, ZHU Zhemin. The nonlinear interaction theory of finite amplitude random sound waves (noise) [J]. Acta acustica, 1982, (1): 3-9.

[11] FENLON F H. An extension of the bessel- fubini series for a multiple frequency source of finite amplitude[J]. Journal of the acoustical society of America, 1972, 51(1A): 83.

[12] FENLON F H. Derivation of the multiple frequency Bessel- Fubini series via Fourier analysis of the preshock time waveform[J]. The journal of the acoustical society of America, 2005, 53(6): 1752-1754.

[13] 楊森. 廣義組合KdV- Burgers方程的差分格式[D].西安：西安建筑科技大學, 2008. YANG Sen.The difference scheme of generalized combined KdV- burgers equation[D]. Xi′an： Xi′an University of Architecture and Technology, 2008.

Nonlinearinteractionbetweennoiseandasingle-frequencysoundwave

YANG Desen, LIU Qing, SHI Jie, ZHANG Haoyang, SHI Shengguo, HU Shiyong

(Acoustic Science and Technology Laboratory, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

10.11990/jheu.201702005

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170428.1655.072.html

O427

A

1006- 7043(2017)09- 1345- 06

2017-02-10. < class="emphasis_bold">網絡出版日期

日期：2017-04-28.

國家自然科學基金項目(11674074).

楊德森(1957-)，男，教授，博士生導師，中國工程院院士； 劉慶(1989-)，男，博士研究生； 時潔(1982-)，女，副教授，博士生導師.

時潔，E- mail: shijie@hrbeu.edu.cn.

本文引用格式：楊德森，劉慶，時潔，等. 噪聲與單頻聲波非線性互作用規(guī)律研究[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(9): 1345-1350.

YANG Desen, LIU Qing, SHI Jie, et al. Nonlinear interaction between noise and a single- frequency sound wave[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(9): 1345-1350.