研究對偶矩陣半群SH2n的若干性質(zhì)

孫澤香

(貴州師范大學數(shù)學與計算機科學學院 貴州 貴陽 550001)

研究對偶矩陣半群SH2n的若干性質(zhì)

孫澤香

(貴州師范大學數(shù)學與計算機科學學院 貴州 貴陽 550001)

SH2n是由特殊矩陣構成的半群，它與其學者研究的矩陣半群所定義的運算不一樣，這樣構造的矩陣是一個Clifford半群，同時也是一個逆半群。研究SH2n的格林關系，正則性，極小理想。

Clifford半群;逆半群;正則性;極小理想

1 引言

符號說明：Sh2n是對取定n以后的集合；例如：取n=1，Sh2={SH2n||H2|=2}

2 預備知識

定理1：在一個交換半群里L=R=H=D=J.

L?R;同理可證R?L;即R=L, 因為H=L∧R;D=L∨R;所以L=R=H=D

貴州省自然環(huán)境優(yōu)美，交通便利，民族文化豐富多彩、特色鮮明，歷史文化底蘊豐厚，因此，該區(qū)域的民族文化遺產(chǎn)作為旅游資源具有極大的開發(fā)利用優(yōu)勢。

綜上所述可得：L=R=H=D=J；

定理2.若一個半群S是一個單半群，以下條件是等價的；[1]

(a)S是完全單半群；(b)S是完全正則的；

定理3.設集合S是一個沒有零元的半群，若S有核K，那K是一個單半群.[1]

3 主要結(jié)果

3.1 研究SH2n的格林關系

由定義我們可知SH2n是一個交換半群，由定理一可知：L=R=H=D=J

3,2 證明:半群SH2n是一個Clifford半群

得這樣的半群是一個完全正則的，再因為該半群是具有交換律的，所以SH2n一個Clifford半群。

3.3 證明:半群SH2n是一個正則半群

證明:對?a∈SH2n,都?b∈Sh2n,使得aba=a;實實因：對?a∈SH2n,a的逆元都存在。使得aa-1=e，(e是半群SH2n的單位元)取b=a-1；即一定存在aba=a,即SH2n是一個正則半群,易驗證該半群的冪等元集就是每個群的單位元,即

E(SH2n)={a∈SH2n|取定n,a∈SH2n且?b∈Sh2n,ab=ba=b}

3.4 證明:SH2n是一個完全單半群

證明：因為對?a,b∈SH2n,?x,y∈SH2n;使得xay=b;實因：

可取x=a-1,y=b;可得xay=b

所以SH2n是一個單半群；由

E(SH2n)={a∈SH2n|a∈SH2n且?b∈Sh2n,ab=ba=b}

知SH2n的本原冪等元是e∈Sh2n∩E(SH2n),因為對?f∈E(SH2n),ef=fe=e;

所以SH2n是一個完全單半群。

3.5 證明該半群是一個逆半群

證明：因為該半群是具有交換律的，即對?a,b∈SH2n,ab=ba;所以冪等元一定是可以交換的，該半群是一個逆半群。

3.6 證明半群SH2n的極小理想是Sh2n，且該理想是一個完全單半群；

證明：設I是SH2n的一個理想，則ISH2n?I且SH2nI?I;

對?a∈Sh2n?SH2n有a∈I;即Sh2n?I;

而Sh2n也是SH2n的一個理想.所以SH2n的極小理想是Sh2n,由定理三可知Sh2n是一個完全單半群,該半群是不存在極大理想的，實因：若A是Sh2n的極大理想，記|A|=m,m∈N*;若B是SH2n的一個子集，且|B|=m+1;則知A?B;B也是SH2n的一個理想；所以SH2n沒有極大理想。

3.7 在半群SH2n上定義一個關系ρ，若(a,b)∈ρ，當且僅當|a|=|b|;證明:該關系在SH2n是一個同余關系。

證明：因為：對?a∈SH2n,|a|=|a|,即(a,a)∈ρ;對

?(a,b),(b,c)∈ρ,有|a|=|b|,|b|=|c|?|a|=|c|;

所以,(a,c)∈ρ;

若(a,b)∈ρ,那可得(b,a)∈ρ, 綜上所述可得ρ是一個等價關系,對?(a,b)，(c,d)∈ρ,有(ac,bd)∈ρ;實因：由(a,b)∈ρ,得|a|=|b|，(c,d)∈ρ,得|c|=|d|，從而

|a||c|=|ac|=|b||d|=|bd|；

即：ρ在SH2n是同余的。

[1] HOWIE J M．Fundamental of Semigroup Theory[M]．New York：Oxford University Press Inc，1995．

[2] YANG Xiuliang,LU Chunghan.Maximal Properties of Some Subsemigroups in Finite Order-Preserving Transformation Semigroups[J].Communication in Algebra, 2000,28(7)3125-3135.

[3] 徐波，ZHAOPing，LI Junyang.Maximal Properties of Some Subsemigroups in Finite Singular Partial Order-preserving Transformation Semigroups[J].Journal of Mathematics,2010,30(4):617-621

O4

A

1672-5832(2017)10-0214-01

孫澤香(1991.03-)，女，漢族，貴州貴陽人，研究生，貴州師范大學，研究方向:半群代數(shù)。