函數定義域的類型與求法淺析

胡效華

摘要：本文通過梳理函數的類型及求法，給出五年制數學函數定義域學習過程中學生的難點及易錯點，提醒學生在做函數類題目時一定要重視定義域，對學生以后的函數學習乃至微積分課程的學習都有一定的幫助。

關鍵詞：函數定義域

函數定義域是函數三要素之一，對應法則的作用對象，是函數的關鍵所在。討論函數的問題時，往往都要從定義域出發，它對于函數的解析式、圖象和性質起著制約作用。在五年制學生的數學學習過程中，有必要讓學生在入門之初，明確函數定義域的類型和求法，對于今后的初等數學以及微積分的學習起到一定的幫助作用。

函數的定義域是指自變量的取值范圍。若不考慮函數的實際意義，而抽象地研究用解析式表達的函數，函數的定義域就是使函數的解析式有意義的一切實數的全體。

一、一般題型

即給出函數的解析式求定義域，其解法的一般原則是：

（1）解析式為多項式（整式），函數定義域為R；

（2）解析式為分式，函數定義域是使分母不為零的實數的集合；

（3）解析式為偶次根式，函數定義域是使被開方數（式子）大于等于零的實數集合；

（4）解析式是基本初等函數時，函數定義域是使其有意義的實數集合；

（5）解析式如果含有以上幾種函數，則應取各部分定義域的交集。

以下給出幾個學生不易掌握的例題，以幫助五年制學生加深對函數定義域的理解。

例1 y=x0

分析：因為0的零次方無意義，所以x≠0

解：函數的定義域是

例2

分析：無論x取何值，分母不可能等于0（分母不等于零恒成立），所以

解：函數的定義域是

例3 y=lnx2

分析：根據對數的性質，應滿足x2>0，而x2≥0，所以x2≠0即x≠0

解：函數的定義域是

例4

分析：本題涉及對數的性質和分式的意義

解：要使函數有意義，則必須滿足

所以函數的定義域是（2，3）.

二、實際問題型

在實際問題中，函數的定義域是根據問題的實際意義確定的。

例5 用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后將四邊折起，就能焊成鐵盒，求鐵盒的容積。

解：設截去的小正方形邊長為x（cm），則鐵盒的底邊長為（48-2x）cm，

那么鐵盒的容積解析式為V=x（48-2x）2（單位m3）.

很多學生解題往往到此為止，不再考慮自變量的取值范圍。

事實上，這是一個實際問題，自變量x代表邊長，所以x>0，同時另一個邊長48-2x>0，兩個條件同時滿足，所以0

綜上，鐵盒的容積是V=x（48-2x）2（0

在實際問題中，建立數學模型是問題解決的第一步，而在這一步中一定要記住分析自變量的取值范圍，否則不利于整個問題的最終解決。

函數定義域的題型除了上面的兩種基本題型，還有抽象函數型等等，鑒于五年制學生的特征，在此不再贅述。