中學(xué)數(shù)學(xué)中“化歸思想”的研究

摘 要：“化歸思想”是解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題必不可少的指導(dǎo)思想。在中學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用“化歸思想”的主要思路在于通過“化歸思想”指導(dǎo)，運(yùn)用化歸方法，將未解的數(shù)學(xué)問題化歸轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而使解題思路更加簡明，解題過程更加清晰，最終完成對中學(xué)數(shù)學(xué)問題的求解。在中學(xué)數(shù)學(xué)中結(jié)合“化歸思想”運(yùn)用化歸方法進(jìn)行解題，不僅是求解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的重要途徑，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方式。然而，從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀上看，“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中的并未得到貫徹落實(shí)，化歸轉(zhuǎn)化方法在求解數(shù)學(xué)難題中的運(yùn)用也未得其所。為此，有必要研究“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用實(shí)踐以及如何運(yùn)用“化歸思想”來進(jìn)一步提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；化歸思想；化歸轉(zhuǎn)化；實(shí)踐

“化歸思想”最早是由莫斯科大學(xué)的一位數(shù)學(xué)教授提出，其主要涵義概括起來為：將所要求解的數(shù)學(xué)問題化歸轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的問題。即將未解的數(shù)學(xué)問題運(yùn)用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識來解決。

一 “化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透目標(biāo)及方向

“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透及應(yīng)用的實(shí)質(zhì)在于運(yùn)用動態(tài)的、發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問題。在求解中學(xué)數(shù)學(xué)問題時，如果解題者觀察、分析與思考問題的角度不同，那么其最終將問題化歸轉(zhuǎn)化的目標(biāo)也相應(yīng)的不同，所運(yùn)用的解題方法也會有所不同。而“化歸思想”的結(jié)合與運(yùn)用，就是引導(dǎo)解題者在解題過程中，盡可能地站在便于求解的角度觀察與分析問題，使所要求解的數(shù)學(xué)問題不斷地向簡單化、直觀化、規(guī)范化的方向轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求解出問題的答案。

二、等價轉(zhuǎn)化思想與不等價轉(zhuǎn)化思想

“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用該可分為等價轉(zhuǎn)化思想和不等價轉(zhuǎn)化思想兩種。

1.等價轉(zhuǎn)化思想

應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想求解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的主要優(yōu)點(diǎn)在于該思想的應(yīng)用形式較為多樣，且應(yīng)用方法也較為靈活。一般情況下，利用等價轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題，既可以在宏觀層面又可以在微觀層面進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，前者如使用普通語言向數(shù)學(xué)語言方向轉(zhuǎn)化，后者如將未知數(shù)學(xué)符號向已知數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)化，即“恒等變形”。既可以在數(shù)與形方面，又可以在形與形、數(shù)與數(shù)之間轉(zhuǎn)化。由此可見，等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用并非具有統(tǒng)一的模式，其應(yīng)用的形式和方法也較為靈活多樣。值得注意的是，利用等價轉(zhuǎn)化思想求解中學(xué)數(shù)學(xué)問題需建立在轉(zhuǎn)化前后兩者之間存在互為因果的關(guān)系，只有這樣才能運(yùn)用等價化歸思想。然而，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中，大多數(shù)情況是轉(zhuǎn)化前后兩者并非完全等價，面對這一情況，則需要引進(jìn)不等價轉(zhuǎn)化思想。

2.不等價轉(zhuǎn)化思想

一般地，不等價轉(zhuǎn)化思想在求解數(shù)學(xué)問題實(shí)踐中應(yīng)用的機(jī)會較多，且更能激發(fā)解題者創(chuàng)造性思維。前文提到，應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化就是將互為因果且可互推的問題，轉(zhuǎn)化為直觀、簡單、規(guī)范的知識，進(jìn)而找到解決問題的重要突破。而應(yīng)用不等價轉(zhuǎn)化思想時，則需要在轉(zhuǎn)化過程中加上一些附加約束，進(jìn)而使其形成相對等價的關(guān)系。

三、化歸轉(zhuǎn)化的主要方法

1.恒等變形法

恒等變形法主要是利用數(shù)與數(shù)之間的等價轉(zhuǎn)化關(guān)系，實(shí)現(xiàn)將未知問題向已知轉(zhuǎn)化。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，恒等變形法的主要運(yùn)用大多在于求解三角方程和代數(shù)方程當(dāng)中。

2.函數(shù)法

所謂函數(shù)法，顧名思義，即通過運(yùn)用函數(shù)思想來求解非函數(shù)的數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用函數(shù)法主要是求解幾何方程不等式問題和一些可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題的代數(shù)問題。

3.分割法

分割法通常是對于求解涉及幾何體及幾何圖形的相關(guān)問題。在遇到較為復(fù)雜的幾何問題求解時，可考慮采用分割法將幾何體或者幾何圖形分割成幾個簡單的幾何圖形組，再針對經(jīng)過分割后的較為簡單的結(jié)合圖形進(jìn)行部分求解，最終綜合得出問題的最終答案。分割法是“化歸思想”在求解中學(xué)數(shù)學(xué)幾何問題中運(yùn)用的最為常見的方法。

4.映射法

映射法是“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)滲透的重要方法之一，其主要是通過建立一一對應(yīng)關(guān)系，將復(fù)雜的問題向簡單化轉(zhuǎn)化的一種形式。映射法較多地運(yùn)用于將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題、代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為幾何運(yùn)算等方面，前者如通過構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)將點(diǎn)與實(shí)數(shù)對、曲線與方程進(jìn)行對應(yīng)，從而變幾何問題為代數(shù)問題。后者如在復(fù)數(shù)的運(yùn)算中，也可通過建立復(fù)平面上的點(diǎn)向量，實(shí)現(xiàn)將復(fù)數(shù)代表運(yùn)算轉(zhuǎn)化為運(yùn)用向量來解決的幾何運(yùn)算。

四、“化歸思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)的運(yùn)用研究

在中學(xué)數(shù)學(xué)中結(jié)合“化歸思想”運(yùn)用化歸方法進(jìn)行解題，不僅是求解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的重要途徑，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方式。一方面，通過指導(dǎo)學(xué)生利用化歸思想來求解數(shù)學(xué)問題，有助于鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和縝密性，使其養(yǎng)成循序漸進(jìn)、逐層遞進(jìn)的邏輯思維習(xí)慣。在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師可以采取講與練相結(jié)合、且以練為主的方法，切實(shí)提升學(xué)生應(yīng)用“化歸思想”求解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的能力，并通過練習(xí)強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的能力和技巧。另一方面，結(jié)合“化歸思想”，還能有助于激活學(xué)生的認(rèn)知活動能力，通過不斷地化歸轉(zhuǎn)化問題，對問題的成分進(jìn)行不斷地變更，同時轉(zhuǎn)換思考、分析問題的角度與方法，從而達(dá)到激活學(xué)生認(rèn)知活動的能力。

參考問題

[1]馬艷，馬貴.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用——以解方程為例[J].北京教育學(xué)院學(xué)報，（自然科學(xué)版）2012/03.

[2]戰(zhàn)珊珊.如何利用映射實(shí)現(xiàn)化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].才智，2012/33.

作者簡介

何海波（1983-），男，重慶市酉陽縣人，土家族，二級教師，本科，畢業(yè)于長江師范學(xué)院，研究方向中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（作者單位：重慶市酉陽土家族苗族自治縣南腰界鄉(xiāng)初級中學(xué)校）