三角函數(shù)問題中的數(shù)學(xué)思想

　　摘 要： 三角函數(shù)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。三角函數(shù)問題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，更值得我們在教學(xué)過程中去開發(fā)和領(lǐng)悟。本文探討了三角函數(shù)問題中的多種數(shù)學(xué)思想方法。
　　關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué) 三角函數(shù)問題 數(shù)學(xué)思想
　　
　　一、數(shù)形結(jié)合思想
　　數(shù)形結(jié)合思想即運(yùn)用數(shù)與形的關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題.可以借助數(shù)的精確性來說明形的某些屬性；也可借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.體現(xiàn)在三角函數(shù)中是利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)定義域、解三角不等式、求單調(diào)區(qū)間、討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、比較大小等.
　　例1.比較sin，cos，tan的大小.
　　解析：這些角都不是特殊角，求出值來再比較行不通，但如果我們注意到，，相差較大，容易利用單位圓上的三角函數(shù)線區(qū)分比較它們各自函數(shù)值的大小.
　　如圖所示，
　　設(shè)a=sin，b=cos，c=tan，
　　可知，b＜0＜a＜c，
　　因此，cos＜sin＜tan.
　　二、分類討論思想
　　分類討論是一種重要解題策略，“分類”，相當(dāng)于縮小討論范圍，故能使復(fù)雜問題簡單化，從而將問題化整為零，各個(gè)擊破.體現(xiàn)在三角函數(shù)值受角所在象限的影響，在不同的象限有不同的三角函數(shù)值，因此就應(yīng)根據(jù)求值或求角的需要對角的范圍或參數(shù)的范圍展開有序的討論.
　　例2.化簡：cosπ+α+cosπ-α，（n∈Z）
　　解析：原式=cosnπ++α+cosnπ--α
　　（1）當(dāng)n為偶數(shù)即n=2k，（k∈Z）時(shí)：
　　原式=cos2kπ++α+cos2kπ--α
　　=cos+α+cos+α=2cos+α
　　（2）當(dāng)n為奇數(shù)即n=2k+1，（k∈Z）時(shí)：
　　原式=cos2kπ+π++α+cos2kπ+π--α
　　=-cos+α-cos+α=-2cos+α
　　∴cosπ+α+cosπ-α=（-1）2cos+α
　　三、轉(zhuǎn)化與化歸思想
　　把所研究的問題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，從而于找出問題的解決方法.體現(xiàn)在三角函數(shù)中就是切割化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問題.
　　例3.求函數(shù)y=tanx+cotx-secx-cscx，x∈-，0的值域.
　　解析：先切割化弦，統(tǒng)一函數(shù)名稱，
　　得y=+--=.
　　令t=sinx+cosx，則sinxcosx=，t=sinx+
　　因?yàn)閤∈-，0，所以t∈（-1，1）
　　于是求原函數(shù)的值域就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=-，t∈（-1，1）的值域，解得y∈（-∞，-1）.
　　因此，原函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-1）.
　　四、整體的思想
　　體現(xiàn)在三角函數(shù)中主要是利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡求值、研究函數(shù)性質(zhì)等.
　　例4.已知為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且滿足sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.
　　解析：由條件和問題聯(lián)想到公式（sinx±cosx）=1±sinxcosx，可實(shí)施整體代換求值.
　　由sinx+cosx=兩邊同時(shí)平方，得sinx+2sinxcosx+cosx=，
　　即2sinxcosx=-.
　　因?yàn)椋╯inx-cosx）=1-2sinxcosx=，
　　又因?yàn)閤為三角形的一個(gè)內(nèi)角，sinx+cosx=＞0，2sinxcosx=-＜0，
　　所以sinx＞0，cosx＜0，則sinx-cosx＞0.
　　所以sinx-cosx=.
　　五、函數(shù)與方程思想
　　三角函數(shù)本身就一種特殊的函數(shù)，解決三角函數(shù)問題自然離不開函數(shù)與方程的思想.體現(xiàn)在某些三角函數(shù)問題可用函數(shù)的思想求解參數(shù)的值（范圍）問題；有些三角函數(shù)問題可以直接轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，還有一些三角問題，依據(jù)題設(shè)條件和求角結(jié)構(gòu)，適當(dāng)選取三角公式聯(lián)立組成方程組，以達(dá)到消元求值的目的，這是方程的思想在三角求值、證明等問題中的最直接體現(xiàn).
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文