淺議圓錐曲線解題策略與技巧

王江閩

摘要：高中生學好圓錐曲線，能夠提升良好的創新、開拓方面的思維能力，因此對學生的思維能力也提出了更高的要求。本文通過歸納介紹定義法、數形結合法等多種方法，目的使學生掌握解題策略以及技巧。

關鍵詞：圓錐曲線；高中數學；解題技巧

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）08-0126-01

圓錐曲線是高中階段平面解析幾何的核心內容，是高考的必考內容之一，它主要考查圓錐曲線的定義、幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、參數取值范圍、最值、軌跡方程以及圓錐曲線有關證明問題。它的曲線類型多，涉及公式多，運算量大，對考生的分析能力、綜合運用各種數學知識與思想方法解題的能力以及計算能力要求較高。在解題過程中，利用解析幾何的思想方法解決圓錐曲線的問題，思路比較簡單.且有較強的規律可循，歸納起來主要有以下四個方面。

1.用定義法求解

圓錐曲線的第二定義體現了"形"的統一，第一定義則體現了"質"的區別。兩種定義不僅在解題中應用廣泛，而且具有很大的靈活性。第一種定義和第二種定義的靈活轉換常常是打開解析幾何思路的鑰匙，在題目中挖掘這隱含信息有助于解題。

例1：橢圓x2a2+y2b2（a>b>0）和雙曲線x2m2-y2n2（m，n>0）有公共的焦點F1（-c，0）、F2（c，0），P為這兩曲線的交點，求|PF1|·|PF2|的值。

分析：做這道題時，如果我們從P為這兩曲線的交點出發，想通過聯立方程組解點P的坐標，再利用兩點間距離公式去求|PF1|，|PF2|，其過程十分繁瑣，但如果從橢圓與雙曲線的定義出發，就比較容易解決問題。

解：設|PF1|=u，|PF2|=v，則u+v=2a ①u-v=±2m ②a2-b2=m2+n2 ③，由①②得u=a-mv=a+m，結合③得|PF1|·|PF2|=v·n=a2-m2或b2+n2。

2.用韋達定理法求解

因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決。

例2：已知橢圓x2m+y2m-1=1（2≤m≤5）過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及準線從左到右依次交于A、B、C、D、設f（m）=||AB|-|CD||，：求f（m）。

分析：此題初看很復雜，對f（m）的結構不知如何運算，因A、B來源于"不同系統"，A在準線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準線上，可見直接求解較繁，但若這些線段"投影"到x軸上，立即可將問題明朗化，只需用韋達定理即可。

解：（1）橢圓x2m+y2m-1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點F1（-1，0）則BC：y=x+1，代入橢圓方程即（m-1）x2+my2-m（m-1）=0，得（m-1）x2+m（x+1）2-m2+m=0；∴（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0；設B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=-2m2m-1（2≤m≤5）

f（m）=||AB|-|CD||=2|（xB-xA）-（xD-xC）|=2|（x1+x2）-（xA+xC）|=2|（x1+x2|=2·2m2m-1

3.用引入參變量，設而不求法求解

在解答圓錐曲線的存在性問題、定值問題時，常常需要設出相關的點的坐標或是直線的斜率、截距等變量，以便相關計算得以進行。而 在計算過程中.并不需要求出所設變量的值，而是通過整體代換、化簡等手段消去變量，達到解題目的。

例3、已知雙曲線x2-y22=1，經過點M（1，1）能否作一條直線L，使L與雙曲線交于A、B，且點M是線段AB的中點。若存在這樣的直線L，求出它的方程，不存在，說明理由。

分析：這是一道探索性題目，一般方法是假設存在這樣的直線，然后驗證是否滿足題設的條件。

解：設存在被點M平分的弦AB，且A（x1，y1）、B（x2，y2）

則x1+x2=2，y1+y2=2；x12-y122=1，x22-y222=1

兩式相減，得（x1+x2）（x1-x2）-12（y1+y2）（y1-y2）=0，∴KAB=y1-y2x1-x2=2

故直線AB：y-1=2（x-1）；由y-1=2（x-1）x2-y22=1消去y，得2x2-4x+3=0

∴Δ=（-4）2-4×2×3=-8<0

這說明直線 與雙曲線不相交，故被點 平分的弦不存在，即不存在這樣的直線 。

4.用數形結合法的求解

解析幾何是代數與幾何的一種統一，常要將代數的運算推理與幾何的論證說明結合起來考慮問題，特別在研究結合圖形間的位置關系時。運用數形結合的思想，能有效地避開復雜的計算，直觀簡潔地解決問題。

例4：已知點P（x，y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0上一動點，求yx的最值。

解：設O（0，0），則yx表示直線OP的斜率，當直線OP與圓相切時，yx取得最值，設最值為k，則切線：y=kx，即kx-y=0；圓（x-3）2+（y-2）2=1，由圓心（3，2）到直線kx-y=0的距離為1得|3k-2|k2+1=1，∴k=3±34∴ （yx）min=3±34，yxmax=3±34

圓錐曲線的解題，一般都是上述幾種方法綜合運用，也不乏一題多解，復習的過程中，要抓好變式訓練和一題多解的分析，學會分析問題的本質.找出正確解題方向。