一種新的MQ徑向基函數擬插值格式

張繼紅，王瑞林

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)*

一種新的MQ徑向基函數擬插值格式

張繼紅，王瑞林

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)*

提出了一種新的MQ徑向基函數擬插值算法，給出了該格式的構造原理及其性質，并用它來逼近函數.通過數值算例及與真實值的對比，驗證了所提方法的有效性.提出的方法形式簡單，不需要求解任何線性方程組，容易實現，且具有不錯的逼近效果.

MQ徑向基函數；擬插值格式；數值逼近

0 引言

徑向基函數是處理多元問題的一種有效的方法.實質上，它是通過定義在[0,+∞)上的一元函數φ與Rd上的歐幾里德范數‖·‖2來表示d元函數φ(‖x-y‖2),其中x,y∈Rd，徑向基函數在數據擬合方面更是有著形式簡單和精度高等優點.常見的徑向基函數有Kriging方法的Gauss分布函數和Markov分布函數及Hardy的MQ函數，而MQ徑向基函數作為數值性能最好的方法之一在數學領域受到了廣泛的關注.

在逼近論及其應用中擬插值格式是一個非常用力的工具，能夠避免插值問題所要面臨的求解大量線性方程組以及由此產生的病態問題.MQ徑向基擬插值最早是由Beaston和Powell[1]在1992年提出的，他們給出了三種單變量MQ擬插值算子，分別叫LALB和LC，1994年Wu和Schaback[2]提出單變量的MQ擬插值算子LD，并且證明了這種格式有保形并且收斂.2009年Wu和Ma[3]構建了新的MQ擬插值算子LE成功應用到了Sine-Gordon方程中.

本文提出一個新的MQ擬插值算子.具體安排如下：首先介紹MQ擬插值格式的構造及其性質，然后用三個數值實驗來驗證這種方法的可行性，最后給出文章的結論及未來的工作方向.

1 MQ徑向基擬插值格式的構造及其性質

定義1 給出徑向基擬插值算子LN的如下表達式：

其中,

1.1 MQ擬插值格式的構造原理

考慮

以及

那么

假設

則有

考慮

用左矩形公式近似積分：

因此

1.2 公式的性質

可以證明LN具有保常數性和保單調性.

定理1LN保常數性.

證明：令f(x)=1,則格式LNf(x)=1，很容易被驗證.

定理2LN具有保單調性.

證明： 等式(1)的一階導數如下：

因為

2 數值實驗

通過數值算例給出該MQ擬插值格式對函數的數值近似情況，用三個算例來驗證方法的有效性.首先考慮函數f(x)=arctan5x,0≤x≤1,取數據點為區間[0,1]間的均勻節點，步長h=0.001,給出真實值和LNf近似函數的對比圖像及絕對誤差圖像，分別如圖1、圖2所示.

圖1 真實值與近似值對比圖圖2 真實值與近似值 的絕對誤差圖

考慮函數f(x)=ex3+cos2x,0≤x≤1,取數據點為區間[0,1]間的均勻節點，步長h=0.001,其真實值和LNf近似函數的對比圖像及其誤差圖像，分別如圖3、圖4所示.

圖3 真實值與近似值對比圖 圖4 真實值與近似值 的絕對誤差圖

圖5 真實值與近似值對比圖 圖6 真實值與近似值 的絕對誤差圖

通過以上三個算例中，真實值和近似值的對比情況，可以看出這個方法是可行的，更重要的是該方法是顯示表達式，不需要求解線性方程組，格式簡單，易于編程實現.

3 結論

本文構造了一種新的MQ徑向基擬插值算法，給出了格式的構造原理及性質，并且通過數值實驗對函數進行數值逼近，得到了比較好的數值結果.數值算例驗證了本文所提算法的有效性，本算法最大特點在于形式簡單，不用求解線性方程組，避免了病態問題，易于編程實現，并且具有不錯的近似效果.該方法在微分方程數值解中的應用，是我們未來的研究方向.

[1]BEATSON RK,POWELL MJD.Univariate multiquadric approximation:quasi-interpolation to scattered data[J].Construct Approx,1991(8):275- 288.

[2]WU Z M,SCHABACK R.Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation[J].Acta Math.Appl Sinica,1994,10(4):441- 446.

[3]MA LM,WU ZM.A numerical method for one-dimensional nonlinear Sine-Gordon equation using multi-quadric quasi-interpolation[J].Chinese Phys B，2009,18(8):3099- 4005.

[4]吳宗敏.散亂數據擬合的模型、方法和理論[M].北京：科學出版社，2007.

A New MQ Radial Basis Function Quasi-Interpolation Scheme

ZHANG Jihong,WANG Ruilin

(School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

In this paper,a new MQ radial basis function quasi-interpolation algorithm is proposed.Its construction and properties are presented,and it is used to approximate functions.The validity of the method is verified by the comparison between the numerical values and the true values of functions.The presented method is simple, easy to implement,accurate,and need not solve any linear equations.

MQ radial basis function;quasi-interpolation scheme;numerical approximation

1673- 9590(2017)05- 0118- 03

A

2016- 12- 06 基金項目:遼寧省博士科研啟動基金資助項目

張繼紅(1979-)，女，副教授，博士，主要從事數值逼近及微分方程數值解方面的研究 E-mail:iamzjh@126.com.