單列球面滾子軸承徑向剛度計算方法

楊家鵬,李柳湘,李正美,安 琦(華東理工大學 機械與動力工程學院,上海 200237)

單列球面滾子軸承徑向剛度計算方法

楊家鵬,李柳湘,李正美,安 琦
(華東理工大學 機械與動力工程學院,上海 200237)

以單列球面滾子軸承為研究對象,采用基于數值離散的切片法,綜合考慮了球面滾子結構參數、軸承內圈偏轉以及彈流潤滑效應的影響,建立了單列球面滾子軸承徑向綜合剛度的計算模型.利用Matlab編程,通過數值計算的方法,研究了滾子輪廓半徑、內圈偏轉角、軸承轉速、徑向外載荷、彈流潤滑等因素對軸承徑向剛度的影響規律.研究結果表明,單列球面滾子軸承的徑向剛度隨著徑向外載荷、內圈偏轉角的增大而增大,隨著軸承轉速、滾子輪廓半徑的增大而減小.

球面滾子軸承; 滾子載荷; 徑向剛度; 潤滑

球面滾子軸承通常作為低速重載機械的常用零件,其性能是決定系統振動特性的關鍵.對球面滾子軸承徑向剛度的研究是分析轉子系統動力學性能的基礎.目前為止,對滾動軸承剛度的計算方法已經有不少人進行過研究.吳昊等[1-5]研究了圓柱滾子軸承徑向剛度的計算方法,分析了彈流潤滑、離心力、徑向載荷等對軸承剛度的影響.李為民等[6-8]對角接觸球軸承和圓錐滾子軸承滾子載荷分布及軸承剛度的計算方法進行了研究,討論了軸向預緊力、油膜厚度等對軸承剛度的影響.馬方波等[9]建立了雙列調心滾子軸承滾子受載計算模型,詳細分析了徑向游隙、內圈傾斜角等對滾子受力情況的影響規律.Shelofast等[10]推導了雙列球面滾子軸承剛度的計算公式,分析了軸向和徑向載荷同時作用下,球面滾子軸承剛度的變化規律.

雖然一些學者對軸承剛度的計算方法進行了研究,但是由于球面滾子軸承結構復雜,國內外對球面滾子軸承徑向剛度計算方法的研究仍顯不足.為此,本文以單列球面滾子軸承為研究對象(見圖1),考慮滾子結構參數、軸承內圈偏轉角、彈流潤滑等因素的影響,采用基于數值離散的切片法建立球面滾子軸承徑向剛度的數學模型,研究了不同因素對軸承剛度的影響規律.

圖1 單列球面滾子軸承結構Fig.1 Structure of single row spherical roller bearings

1 滾子載荷計算

圖2為不考慮徑向游隙和預緊力情況下,軸承受到徑向載荷時,內部載荷分布示意圖.在外載荷作用下,軸承內圈中心O沿著徑向方向豎直向下移動到點O′,兩點之間的距離為δr,即軸承的最大徑向彈性變形.由軸承內圈的靜力平衡條件可得

(1)

式中:φj為第j個滾動體中心與軸承內圈中心的連線和徑向載荷作用線間的夾角;Fj_i為與徑向載荷作用線成φj角的滾子對內圈的作用力;Z為軸承內部滾子數目;jmax為軸承90°范圍內的最大滾子數目.

圖2 徑向載荷作用下軸承受力分布示意圖Fig.2 Force distribution of the bearingwith radial load

軸承內部變形協調關系為

δj=δrcosφj

(2)

式中:δj為與徑向外載荷作用線夾角為φj位置的彈性變形總量;δr為滾動軸承內最大徑向彈性變形.

在外部徑向載荷作用下,軸承內滾子所受載荷與接觸變形存在如下關系[11]:

(3)

將式(2)和式(3)聯立求解,可得到軸承內第j個滾子對內圈的作用為

Fj_i=F0_i(cosφj)1/0.9

(4)

將式(1)～式(4)聯立求解,可得到軸承內滾子對內圈的最大作用力為

(5)

軸承工作轉速較大時,滾子的離心力也會隨之增大,這時滾子與軸承外圈的接觸力不再等于滾子與內圈的接觸力,根據滾子在徑向受力平衡條件可得滾子與外圈之間的作用力為

Fj_o=F0_i(cosφj)1/0.9+Fc

(6)

(7)

式中:Fc為滾子受到的離心力,工作轉速較小時可忽略不計;下標i,o分別為滾子與軸承內、外滾道接觸.

球面滾子軸承在工作過程中,其內圈會隨著軸的傾斜而偏轉,圖3為軸承內圈發生偏轉時,內部滾子受力示意圖,其中θ為軸承內圈的偏轉角度.

圖3 內圈偏轉時滾子受力分析Fig.3 Force analysis of rollers with inner ring tilting

由軸承徑向靜平衡條件可得

(8)

根據式(8)即可得到軸承內圈偏轉時,各個滾子對內外圈滾道的作用力為

(9)

(10)

2 滾子接觸變形及剛度計算

2.1無潤滑下的接觸變形和剛度計算

軸承在受到徑向載荷作用下,其內部滾子將會產生接觸彈性變形.圖4為最大受載滾子最大橫截面處彈性變形示意圖,軸承滾子與內圈之間的接觸彈性趨近量為δi,滾子與外圈之間的接觸彈性趨近量為δo.

圖4 滾子與內外圈接觸彈性變形示意圖Fig.4 Contact elastic deformation betweenroller and inner and outer ring

根據Hertz接觸理論[12],當兩圓柱體外接觸時,接觸區域寬度2b和截面圓心的彈性趨近距離2b為

(11)

(12)

當兩柱體內接觸時,接觸區域寬度2b和截面圓心的彈性趨近距離δ為

(13)

(14)

式中:Q為接觸體所受到的外力;L為有效接觸長度;R1,R2為兩接觸體的曲率半徑(R1≤R2);υ為接觸體材料的泊松比;E為接觸體材料的彈性模量.

圖5 球面滾子結構示意圖Fig.5 Structure of the spherical roller

對于球面滾子軸承而言,其內部滾子橫截面形狀為變截面圓,如圖5所示,其中:截面圓半徑為r(x);滾子有效接觸長度為L;滾子最大橫截面直徑為D;球面滾子輪廓半徑為R;外圈滾道輪廓半徑為R1;內圈滾道輪廓半徑為R2.建立圖示直角坐標系,則第j個滾子在第k個切片處的截面半徑為

(15)

內圈滾道在第k個切片處的截面半徑為

(1≤k≤n)

(16)

外圈滾道在第k個切片處的截面半徑為

(1≤k≤n)

(17)

軸承第j個滾子與軸承內外滾道之間的接觸力分別為Fj_i,Fj_o,由于球面滾子軸承內滾道和外滾道輪廓半徑相同,且與滾子接觸均為內接觸,所以滾子與內外滾道在第k個切片處的彈性趨近量分別為

(18)

(19)

第j個滾子第k個切片與內圈滾道之間的接觸剛度為

(20)

(21)

(22)

第j個滾子第k個切片與內圈滾道之間的接觸剛度為

(23)

(24)

(25)

第j個滾子與內圈滾道之間的總接觸徑向剛度為

(26)

第j個滾子與外圈滾道之間的總接觸徑向剛度為

(27)

第j個滾子與內外圈接觸的總剛度可以看成是滾子與內外圈接觸剛度的串聯,其接觸總剛度為

(28)

軸承的總剛度由所有受力滾子與內外圈接觸剛度并聯而得到

(29)

2.2考慮潤滑時軸承剛度計算

滾動軸承在高速運轉過程中,滾子與內外滾道之間會形成一定的油膜厚度,Dowson推導了等溫條件下線接觸彈流潤滑最小油膜厚度公式[13]:

(30)

式中:α為潤滑油的粘壓系數;η0為潤滑劑啊在標準大氣壓下的動力黏度;u為軸承節圓上滾子的線速度;ρ為兩接觸體的當量曲率半徑;q為接觸區域的線載荷.

根據式(30),可分別得到滾動體與內外圈接觸時,不同截面處潤滑油膜的最小膜厚為

2組非小細胞肺癌患者近期療效見表1。2組近期療效差異有統計學意義(Z=-3.578，P=0.000)。聯合用藥組對肺癌的控制率為74.44%，顯著高于吉西他濱組的46.67%(χ2=15.253，P=0.000)。

(31)

(32)

第j個滾子處第k個油膜切片與內滾道之間的接觸剛度為

(33)

(34)

第j個滾子處第k個油膜切片與外滾道之間的接觸剛度為

(35)

B= 0.043 7α0.54[η0ni(d_m-2rjk)]0.7·

(36)

第j個滾子處油膜與內滾道之間的徑向總剛度為

(37)

第j個滾子處油膜與外滾道之間的徑向總剛度為

(38)

第j個滾子處的油膜剛度為

(39)

整個軸承的油膜總剛度為

(40)

考慮彈流潤滑時,球面滾子軸承的徑向綜合剛度由滾子接觸剛度和油膜剛度串聯得到

(41)

3 計算與分析

在上述所建立的球面滾子軸承徑向剛度計算模型的基礎上,給定一組球面滾子軸承結構參數,以軸承C2207TN9為例通過計算,對不同因素對軸承剛度的影響進行分析,其具體結構參數如表1所示.

表1 球面滾子軸承結構參數Tab.1 Structure parameters of spherical roller bearings

3.1徑向載荷對軸承徑向剛度的影響

如圖6所示,球面滾子軸承徑向剛度隨著徑向外載荷的增大而增大,徑向載荷在0～2 000 N范圍內,徑向剛度隨載荷的變化較為明顯.當載荷不斷增大時,軸承徑向剛度的變化趨于平穩;當徑向載荷較小時,有無潤滑油潤滑對軸承徑向剛度的影響十分明顯,說明油膜潤滑具有降低軸承剛度的作用,如果不考慮彈流潤滑的影響,將會導致計算結果的極大誤差;當載荷逐漸增大時,兩種計算結果之間的差異逐漸減小,說明隨著載荷的增大,油膜厚度逐漸減小,油膜剛度不斷增大,逐漸與Hertz接觸剛度值接近.

圖6 徑向載荷對球面滾子軸承徑向剛度的影響Fig.6 Effect of radial load on the radial stiffnessof spherical roller bearings

3.2軸承轉速對其徑向剛度的影響

由前文的分析可知,軸承轉速主要影響滾子與滾道之間的油膜厚度以及滾子離心力的大小.隨著轉速的增大,軸承內滾子所受到的離心力會越來越大,使得滾子與軸承外圈之間的作用力增大,但由于滾子質量較小,其增大效果不是特別明顯.另外,滾子與滾道之間的油膜厚度隨著軸承轉速的提高而增大,導致油膜總剛度減小,從而使軸承的總剛度隨著轉速的增大而逐漸減小(見圖7).相同的轉速下,軸承剛度隨著滾子數目的增大而減小.

圖7 軸承轉速對球面滾子軸承徑向剛度的影響Fig.7 Effect of rotating speed on the radial stiffnessof spherical roller bearings

3.3內圈偏轉角度對軸承徑向剛度的影響

球面滾子軸承在工作的過程中,由于其特殊的調心功能,常常會發生軸承內圈偏轉的情況.圖8為軸承內圈偏轉角度對其徑向剛度的影響.從圖中可以看出,球面滾子軸承徑向剛度隨著偏轉角度的增大而增大,偏轉角θ<2°時,變化較為緩慢,隨著偏轉角度的增大,剛度的變化越來越明顯.總體而言,內圈偏轉對軸承徑向剛度的影響程度并不是很大.

圖8 內圈偏轉角對球面滾子軸承徑向剛度的影響Fig.8 Effect of inner ring tilting angle on the radialstiffness of spherical roller bearings

3.4滾動體輪廓半徑對軸承徑向剛度的影響

滾子輪廓半徑的變化,使得滾子在不同截面處與內外圈的接觸半徑發生改變,因此也會對軸承的剛度產生影響.如圖9所示,球面滾子軸承徑向剛度隨著滾子輪廓半徑的增大幾乎呈線性減小,但總體而言,滾子輪廓半徑的變化對球面滾子軸承徑向剛度的影響不明顯.

圖9 滾子輪廓半徑對球面滾子軸承徑向剛度的影響Fig.9 Effect of roller contour radius on the radialstiffness of spherical roller bearings

4 結論

(1) 本文采用切片法對單列球面滾子軸承的力學性能進行研究,建立了單列球面滾子軸承徑向剛度的計算模型.該模型綜合考慮了彈流潤滑、徑向外載荷、軸承轉速、內圈偏轉角、滾子輪廓半徑等因素對其徑向剛度的影響.

(2) 通過對算例的計算,分析了不同影響因素對球面滾子軸承徑向剛度的影響規律,得出了具體的變化規律曲線.結果表明:軸承的徑向剛度隨著徑向外載荷、內圈偏轉角的增大而增大;隨著軸承轉速、滾子輪廓半徑的增大而減小;滾子輪廓半徑、軸承內圈偏轉角對球面滾子軸承徑向剛度的影響不明顯,徑向載荷、轉速、彈流潤滑等因素對軸承徑向剛度的影響十分顯著.

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Calculationmethodofradialstiffnessforsinglerowsphericalrollerbearings

YANGJiapeng,LILiuxiang,LIZhengmei,ANQi
(School of Mechanical and Power Engineering,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

A calculating model is developed to study the radial stiffness of single row spherical roller bearings by using a slice technique based on numerical dispersion with considering some factors such as the structure parameter of the roller,rotating angle of the inner ring,speed of the bearing,the radial loads on spherical roller bearings,and elastohydrodynamic lubrication.The effect of the above factors on the bearings’ radial stiffness is studied by numerical calculating by using Matlab.Results show that the radial stiffness increases with the increase of radial loads,rotary angle of the inner ring,and decreases with the speed of the bearing and the radius of roller increasing.

spherical roller bearings; roller loads; radial stiffness; lubrication

TH 133.33

： A

： 1672-5581(2017)03-0216-06

楊家鵬(1989—),男,博士生.E-mail:jiapengyang0841@163.com