淺談基本不等式的初步教學

乃芳玉

【摘要】基本不等式是高中數學中的一個重要知識點，高考必考，在選擇題，填空題，解答題中均有考查，常以一小一大的形式出現，分值在20分左右.高考中常考查利用基本不等式求變量或代數式的最值，具有靈活多變，技巧性強，應用廣泛的特點.在教學實踐中，發現學生在應用的過程中容易出錯，用基本不等式求最值時，對必備的三個條件的“一正、二定、三相等”不能有效的理解和應用.對此，本人結合教學實踐談談自己的做法.

【關鍵詞】基本不等式、條件、最值

中圖分類號：G633.6

【正文】

1 剖析基本不等式，領悟其本質。

基本不等式的原型： （ ），當且僅當 時取到等號，其本質是刻畫了兩個正數的“和”與“積”之間的不等關系，所以運用基本不等式解題的關鍵就是將“和”與“積”進行靈活轉換。

2 例題分析，逐個突破，理解“一正、二定、三相等”意義

2.1“一正”

例1 若 ，求 的最小值

變式 若 ，求 的最大值.

反思 利用基本不等式求最值，首先，就是驗證“ ”即“一正”，通過比較這兩個例題，可以有效幫助同學們理解其中的意義，“正”時可直接利用公式，“不正”時只要對代數式進行適當變形，確定誰是公式里的 ，也可以用公式求最值。

2.2“二定”

例2求 的最小值.

分析 本題在格式上與例1相似，按照公式的要求，如果直接把 看作公式里的 ，把 看作公式里的 ，那么“一正”滿足，但 不是定值，因此得不到 的最值，所以本題的關鍵是“積定”。

解：

當且僅當 ，即 時，取到等號。所以 的最小值為6

變式 已知

分析 前面我們分析過基本不等式的本質，指出其本質是兩個正數的“和”與“積”之間的不等關系，求“和”的最值時，“積”必須是定的，反之，求“積”的最值時“和”就必須是定的，本題是求“積”的最值，故尋求“和”定的關鍵。若直接把 看作公式里的 ，把 看作公式里的 ，顯然“正”滿足，但 不是定值，故需要做適當變形。

解：

取到等號，

反思 以上兩個題目突出了 “二定”這一特征，可以總結為積定和最小，和定積最大，為了突出這一特征，在選擇例題的時候，都是建立在“正”和“等”都滿足的基礎上，“不定”的時候通過適當的變形、構造，直到“定”為止。

2.3“三相等”

例3已知函數 .

（1）若 ，當 = 時，函數取最小值為

（2）若 ，當 = 時，函數取最小值為

（3）若 ，當 = 時，函數取最小值為

分析 顯然（1）同時滿足“一正、二定、三相等”三個條件，當且僅當 ，即 （在定義域內）時，函數取到最小值12。但對于（2）和（3），在它們的定義域內沒有 ，因此 ，只滿足了“一正二定”，因此不能用基本不等式來求最值，但可借助對勾函數的單調性加以分析，得到最值，即因為函數 在區間 上單調遞減，在區間 上單調遞增，所以對于（2），當 時，函數 在 處取到最小值 ；對于（3），當 時函數 在 處取到最小值37.

反思 本題通過對同一個函數式在不同的定義域下求最值，突出了用基本不等式求最值時“等”這一條件的重要性。通過比較，學生就能很容易理解“三相等”的意義，在以后用公式時就不會輕易犯錯。

3、總結

對基本不等式的初次學習，學生們對“一正、二定、三相等”三個條件的含義往往是似懂非懂，尤其是對 “等”的理解多半是含糊不清，不管三七二十一，一看到倒數形式，不加以驗證，就直接用基本不等式，屢屢犯錯還不知所以。以上三個例題層層深入，逐個突破，能讓學生能夠充分理解了“一正、二定、三相等”三個條件的含義，解決了似懂非懂的局面，而且能為后期靈活運用基本不等式求更復雜的問題提供堅實的基礎保證。

參考文獻

[1]樓益平 取等號——活用基本不等式的一個著眼點，中學數學研究2006.””4

[2]張羽佳 均值不等式使用條件及其解題技巧 ，數學學習與研究2010，（24）endprint