一道高中學業水平考試題的解法與推廣

唐鈺淇

【摘要】數形結合是一種重要的數學思想，數形結合問題在高考中經常出現。文章以一道高中數學學業水平考試試題為例，提出此問題的幾種常用解法，并將該問題推廣到一般情形，得到幾個基本結論。

【關鍵詞】高中數學；數形結合；代數法；幾何法；三角函數法

2017年湖南省高中學業水平考試數學試卷最后一題為：如圖1，過原點作兩條相互垂直的直線分別與圓相交于點、、、，求的最大值。

一、幾種解法

解法一：代數法

設直線的方程為，與圓的交點為、，滿足，即，由韋達定理有

，，

則，，

①

直線與直線垂直，設其方程為 ，與圓的交點為、.類似可推得

②

由①和②有

③

當時，上式右邊取得最大值，即最大值為.

另外，也可由①和②得

④

根據基本不等式有

即的最大值為4，此時，，兩直線與軸的夾角均為45度.

解法二：幾何方法一

如圖2，設圓心為，連接、、、，作交于點E，交于點，則點、分別是、的中點. 由于，則四邊形是矩形.

故，

則.

由基本不等式有.

解法三：幾何方法二

如圖2，根據圓的切割線定理，有

即⑤

因為OEPF為矩形，故

即⑥

由⑤⑥可得，則

從而可得.

解法四：三角函數法

如圖2，設，

則，

則

⑦

當時，式⑦右邊取得最大值1，即最大值為1，故的最大值為4.

二、一般情形推廣

將此問題推廣到一般情形如下：

問題：過原點作兩條相互垂直的直線分別與圓相交于點、和、，求的最大值.

解：如圖2，設直線與直線的方程分別為和，與圓的四個交點分別為、、、.參照解法一，可得

，，

，，

，

，

我們不難得到

且必須滿足.

根據基本不等式，的最大值為.

同時還得出如下結論：

結論1：、兩線段中點連線的長度為定值，等于原點到圓心的距離.

證明：、兩線段的中點分別為、.則

.

結論2：、兩線段中點連線的中點，與原點和圓心連線的中點重合.

證明：設原點和圓心連線的中點為，的中點為，則

，

因此的中點坐標與點的坐標相同.

根據結論2可以得出：

推論：、兩線段的中點均在以為圓心，半徑為的圓上.

結論3：等于連線所圍區域面積的2倍.

證明：（1）當，即原點在圓之外，如圖2，連線所圍區域即陰影部分.

則.

（2）當，即原點位于圓內，如圖3，所圍區域為圓內接四邊形.

（3）當，即原點位于圓上，、與原點重合，所圍區域為直角三角形，因此 .

三、結束語

數形結合問題一般可以采用代數法、幾何法、三角函數法求解，也可運用幾種方法聯合求解。在學習中，我們要根據實際情況靈活運用。對于某些具體問題，我們可以通過推廣拓展至一般情形，從而更深入地分析和解決問題。endprint