基于集中質量法的水下拖曳纜索動力響應分析

劉 銘，李家旺，朱克強

(寧波大學 海運學院，寧波 315211)

基于集中質量法的水下拖曳纜索動力響應分析

劉 銘，李家旺，朱克強

(寧波大學 海運學院，寧波 315211)

以水下拖曳纜索系統為研究對象，建立拖曳纜索的集中質量模型，推導了水下拖曳纜索的動力學方程。采用四階Runge-Kutta數值積分算法，對水下纜索進行非線性動力響應分析。編制了相應的計算機程序，模擬拖曳纜索系統在勻速直航、橫向運動、升沉運動、回轉運動條件下，纜索的運動姿態及受力情況。數值分析結果與實驗對比表明，集中質量模型對纜索在各種邊界條件下的運動激勵均有較好的適應性。相比基于有限差分法的數值結果，集中質量模型與實驗結果吻合更好。

集中質量法；水下拖曳纜索；動力響應

在水下探測、無人深潛器、錨鏈懸掛等工程領域中，拖曳纜索具有較大的研究價值。1973年 Choo和Casarella對纜索系統運動分析方法進行了探討，并描述了纜索系統運動仿真的多種模擬方法[1]，1977年Russell[2]對拖點圓周運動的三維模型進行模擬[2]，但無法模擬其他的運動形式。1980年Rispin[3]對拖曳纜索直航和圓周運動做了一系列的海上實驗。1983年Ablow[3]對Rispin的實驗模型中直航和圓周運動的纜索進行了基于有限差分法的數值模擬，研究了拖船作任意運動時水下拖曳纜索的位型，但是由于差分格式的選取原因，某些運動形式下數值解與實驗結果相差較大。1986年Kennedy[4]對拖曳纜索在水平正弦運動下的運動響應進行了數值模擬和海上實驗。1989年李立波[5]對拖曳陣系統進行了有限差分法的數值模擬，在Ablow基礎上對差分格式進行了優化。2002～2014年朱克強等[6-7]先后模擬了多種纜體系統，以及采用凝集質量法對海洋纜索的回轉運動進行了數值分析，并推導了一種凝集參數法表達式，但是并沒有考慮纜索彎曲剛度的影響。2015年王志博等[8]基于有限單元法對拖曳系統的擾動特性進行研究，計算了二段式拖曳方式對擾動的傳遞特性。

為更全面地考慮水下纜索的受力，以及盡可能提高對多段式纜索的適應性，本文的研究計及纜索的彎曲剛度，并以某三段式拖曳纜索作為驗算模型進行纜索動力分析。基于集中質量法，列出了纜索系統的動力學方程。集中質量法的優點在于算法簡便、對邊界條件的適應能力強。本文驗算了拖船在多種運動狀態(勻速直航、橫向正弦運動、升沉運動、回轉運動)下，三段式拖曳纜索系統的動力響應。通過多方面的計算以及與實驗的比較，證明了本文的數值計算是比較有效的，不僅計算精度較高，且對拖曳環境下各種復雜運動具有較高的適用性。

1 纜索單元的動力學微分方程

拖船錨鏈、拖曳聲納、懸掛的海洋立管均可視為海洋纜索系統，海洋纜索主要受到水流阻力和拖船運動載荷的影響，在纜索的動力響應過程中，其慣性力、水流阻力、軸向張力以及彎矩隨時間變化而變化，因此纜索動力學問題是典型的非線性問題。由于纜索動力學問題很難得到解析解，采用數值模擬是目前理論界與工程界的主流做法。

圖1 纜索單元與受力Fig.1 Cable element and force

將纜索沿著長度方向劃分為多個單元，如圖1所示。選取一個纜索單元作為研究對象，則纜索單元的運動方程為

(1)

(2)

纜索的彎矩和張力分別與其彎曲剛度EI和拉伸剛度EA有關，用公式可表示為

(3)

T=EAε

(4)

式中：ε為軸向應變。

為了確定式(1)和式(2)的唯一解，需建立纜索頂部與末端的邊界條件方程

(5)

(6)

M(0)=M(L)=0

(7)

對于考慮彎曲的纜索，需要建立離散的集中質量模型，如圖1所示。纜索被劃分為若干個單元，每個單元的質量分配到單元兩端的節點上。

(8)

節點j處的曲率矢量可通過相鄰纜索單元之間斜率變化率來表示

(9)

假設兩個相鄰單元之間的抗彎剛度EI恒定，那么式(3)又可表示為

(10)

纜索單元的軸向和法向張量，分別為

(11)

(12)

如果分布彎矩為0，那么通過式(1)、(2)以及式(11)、(12)推導出單元j剪力的矩陣形式為

(13)

那么單元j兩端節點的運動方程可表示為矩陣形式

(14)

式中：[Vj]=[V(j-1)]-[V(j)]為節點j處的剪力，由兩個相鄰的單元計算得來。[Vj]和[V(j)]分布為節點j和單元j的剪力。

如果同一段纜索均質且截面積不變，那么

(15)

式中：g為重力加速度，假設纜索單元的重量均分給兩端的節點。

2 纜索單元的外載荷

纜索單元主要承受浮力、水流阻力、與附加質量相關的輻射力，于是纜索單元的外載荷可表示為

(16)

纜索單元的浮力矩陣可表示為

(17)

式中：ρw為水的密度；Acj為纜索的等效截面積；Lj為纜索單元的長度。

纜索受到的水流阻力是隨著纜索位型改變而變化的，因此水流阻力是與時間相關的矩陣，可表示為

(18)

(19)

(20)

3 纜索的剛度矩陣與動力學方程

彎曲剛度矩陣可由剪力求導直接得到

[dV(j)]=[T]T[u]=-[Kb][u]

(21)

將式(13)帶入式(21)，于是有

(22)

(23)

(24)

單元j的軸向彈性力可由兩個節點的位移來確定，即

(25)

式中：[Ka]為纜索軸向剛度矩陣，為6*6的矩陣。

(26)

最后，聯立式(14)、式(16)、式(22)和式(25)，可以將方程演變為時域分析纜索動力學方程的通用形式

(27)

式中：[M]為總的質量矩陣(包括結構質量和附加質量)；[C]為線性阻尼矩陣；[Ftotal]為纜索受到的合力矩陣。于是根據式(27)可解得纜索的空間位型結果，再將纜索空間位型帶入式(1)和(2)可以得到張力、剪力和彎矩等結果。

4 算例分析

4.1直航運動

采用Rispin拖曳系統的實驗模型[3]作為算例。該拖曳纜索由6段組成，各段纜索的參數見表1，實驗纜索模型如圖2所示。直航實驗中拖船保持勻速，航速分別為5.14 ms和9.52 ms，計算纜索穩定后拖點傾角和拖纜陣列A點處的水深，數值結果與實驗結果對比見表2。

從表2的結果可以看出，勻速直航狀態下拖曳纜索的數值結果與Rispin實驗結果[3]匹配較好。

圖2 實驗纜索模型Fig.2 Cable model of test

序號長度(m)直徑(m)濕重(kg∕m)橫向阻力系數切向阻力系數1723．00．040640．23820．01528．230．0793701．80．00898371．020．0793701．80．008984156．360．0793701．80．00898538．710．0793701．80．00898630．480．02540．0581．80．02168

4.2水平正弦運動

為了驗證拖船橫向運動時纜索動力響應的準確性，采用Kennedy的實驗模型[4]作為算例。該實驗中拖船保持橫向正弦運動，船尾懸掛直徑為16 mm的鋼質纜索，纜索的參數見表3。在船底和纜索末端裝有水聽器，用來測量纜索末端的響應幅值。

表2 直航算例纜索數值結果與實驗結果[3]對比Tab.2 Result of simulation and experiment at stand-on vessel

表3 橫向正弦運動算例纜索參數[4]Tab.3 Cable parameter at transverse sinusoidal moving vessel

圖3 算例5 (高頻激勵) 纜索Uy時間歷程曲線Fig.3 Time history curve of cable Uy in case 5

圖4 算例10 (低頻激勵) 纜索Uy時間歷程曲線Fig.4 Time history curve of cable Uy in case 10

從表4的數值結果與實驗結果對比可知，兩者吻合較好。圖3和圖4分別是算例5和10的纜索拖點與末端橫向位移的時間歷程曲線。纜索末端隨著拖船的橫向正弦運動，也發生橫向運動。纜索末端橫向運動充分發展后，基本呈正弦運動規律。

表4 橫向正弦運動算例纜索數值結果與實驗結果[4]對比Tab.4 Result of numerical simulation and experiment at transverse sinusoidal moving vessel

從表4中看出，本文數值結果與Kennedy實驗結果[4]匹配較好。

對比圖3和圖4的結果，在振幅相當條件下，拖點激勵頻率越高，則纜索末端的響應幅值越小；纜索越長，其末端響應相比激勵的滯后時間越長。

4.3升沉正弦運動

采用Rispin實驗模型作為計算對象，假設母船只發生升沉正弦運動。定義動載荷系數為拖點最大張力除以穩態張力。模擬不同振幅和不同周期的母船位移激勵下， 計算動載荷系數以及拖纜A點的升沉運動幅值的響應。

圖5 動載荷系數響應 圖6 拖纜A點的升沉運動幅值響應圖 7 拖點激勵的升沉運動時間歷程曲線 Fig.5 Dynamic load factor Fig.6 Uz amplitude of towed cable A point Fig.7 Time history curve of UZ at towed point

從圖5和圖6的結果可知，母船升沉運動周期越大，纜索的位移擾動更易傳播，但是動載荷系數隨著運動周期的增大而減小，顯然高頻激勵更易使纜索的動態張力增大。母船升沉運動振幅越大，纜索的位移擾動和動載荷系數均明顯增加。

4.4升沉不規則運動

采用Rispin實驗模型作為計算對象，給定一段不規則的持續600 s的母船拖點升沉運動載荷信號，升沉運動的最大幅值接近6 m，如圖7所示。

計算結果與升沉規則運動的最大幅值也為6 m的情況進行比較可知，母船拖點的不規則運動使纜索的張力峰值顯著增加，如表5所示。因此在評估拖曳系統的纜索張力問題時，母船的不規則運動的影響不可忽略。

表5各搖動狀態下纜索拖點處張力的幅值
Tab.5 Towed maximum tension at regular and irregular moving ship kN

船舶規則升沉運動幅值6m周期10s周期20s周期30s船舶不規則運動最大幅值6m36．131．230．747．3

表6回轉運動算例纜索數值結果與實驗結果[3]對比
Tab.6 Result of numerical simulation and experiment at revolving moving vessel m

計算水深Rispin實驗文獻[5]的解本文的數值解初始深度10．0412．1010．22最小深度2．513．392．89最終深度10．1610．9810．30

4.5圓周回轉運動

在Rispin的拖曳回轉運動實驗中，拖船先以18.5 kn的航速直航，然后進入回轉半徑為640 m的回轉中，回轉角度375°(440 s)，回轉結束后沿圓周切向作穩定直航(300 s)，整個過程耗時12 min20 s。本文的數值解與Rispin實驗結果比較見表6。

從表6的結果可以看出，回轉運動下纜索深度的數值結果與Rispin實驗結果[3]匹配情況，相比文獻[5]的結果更好。

5 結論

基于集中質量法，推導了拖曳纜索動力學方程，全面地考慮了纜索的外載荷，包括重力、浮力、橫向與切向水流力以及輻射力，同時考慮了纜索的拉伸和彎曲剛度。編制了相關計算程序，模擬了拖船勻速直航、橫向正弦運動、升沉運動、回轉運動下纜索系統的動力響應。得到如下結論：

(1)從勻速直航運動和水平正弦運動的算例可以看出，本文的模擬結果與實驗結果吻合較好，說明本文給出的計算方法能較為準確地預報纜索的受力與運動姿態；

(2)水平正弦運動中，在振幅相當條件下，拖點激勵頻率越高，則纜索末端的響應幅值越小；纜索越長，其末端響應相比激勵的滯后時間越長；

(3)升沉正弦運動中，纜索拖點張力和纜索振幅均隨著母船運動幅值增大而增大，母船升沉運動周期增大時，纜索的位移擾動更易傳播；

(4)相比規則運動。母船的不規則運動使拖曳纜索的張力峰值明顯增加，實際纜索的張力與強度計算時，需要考慮母船不規則運動的影響；

(5)回轉運動下，相比采用有限差分法的文獻[5]結果，本文的數值結果與實驗結果匹配更好。

[1]Choo Y, Casarella M J. A Survey of Analytical Methods for Dynamic Simulation of Cable-Body Systems[J]. Journal of Hydronautics, 2012, 7(4):137-144.

[2]Russell J J, Anderson W J. Equilibrium and Stability of a Circularly Towed Cable Subject to Aerodynamic Drag[J]. Journal of Aircraft, 1976, 14(7):680-686.

[3]Ablow C M, Schechter S. Numerical simulation of undersea cable dynamics[J]. Ocean Engineering, 1983, 10(6):443-457.

[4]Kennedy R M, Strahan E S.A linear theory of transverse cable dynamics at low frequencies[R].NUSC Tech. Rep. 6463, Naval Underwater Systems Center, Newport, Rhode Island New London, Connecticut,1981.

[5]李力波. 海下纜索系統運動的動力學模擬[J]. 中國造船, 1989(4): 33-44. LI L B. Dynamic simulation of underwater cable system motion[J]. Shipbuilding of China,1989(4):33-44.

[6]朱克強, 李道根. 海洋纜體系統的統一凝集參數時域分析法[J]. 海洋工程, 2002, 20(2): 100-104. ZHU K Q, LI D G. Lumped parameter analysis method for time-domain of ocean cable-body systems[J]. The Ocean Engineering, 2002, 20(2): 100-104.

[7]朱艷杰, 朱克強, 楊冰卡,等. 基于凝集質量法的海洋纜索動力學建模與數值技術[J]. 海洋工程, 2014, 32(1):112-116. ZHU Y J, ZHU K Q, YANG B K, et al. Dynamics modeling and emulation technique of the marine cable considering tension and compression bending torsion deformation[J]. The Ocean Engineering, 2014, 32(1): 112-116.

[8]王志博, 侯德永. 拖曳系統運動傳遞計算[J]. 船舶力學, 2015, 19(4): 389-396. WANG Z B, HOU D Y. Towed system motion transfer calculation[J]. Journal of Ship Mechanics, 2015, 19(4): 389-396.

Dynamic response analysis of the undersea towed cable based on lump-mass method

LIUMing,LIJia-wang,ZHUKe-qiang

(FacultyofMaritimeandTransportation,NingboUniversity,Ningbo315211,China)

To study the undersea towed cable system, equation of dynamic cable was deduced based on lump-mass model. Nonlinear dynamic response analysis of towed cable was carried out based on 4th order Runge-Kutta integration algorithm. The motion and force of towed cable were simulated by a computer program under the condition of ship moving forward with constant speed, transverse sinusoidal motion, heave and revolving moving. From comparison of numerical analysis and experiment, it indicates that lump-mass model is applicable under cable motion excitation of various boundary conditions. Simulation results of lump-mass model compare better with the test than the results of finite difference method.

lump-mass method; undersea towed cable; dynamic response

TV 139.2；O 242.1

：A

：1005-8443(2017)04-0405-07

2016-11-07；

：2017-01-06

國家自然科學基金 (11272160)；國家自然科學基金青年項目(51309133)

劉銘(1989-)，男，遼寧省錦州人，助理研究員，主要從事船舶與海洋結構物動態響應的研究。

Biography：LIU Ming(1989-),male, assistant professor.