基于卡爾曼濾波的改進案均賠款法

蘇瑞

【摘要】傳統的確定性方法對歷史數據要求較高，引入卡爾曼濾波法對準備金估計方法進行隨機化處理，估計狀態空間的轉換參數，對歷史錯誤數據進行一定程度的自動修正，消除歷史錯誤數據對未決賠款準備金估計的影響，提高準備金估計的準確性和穩健性。

【關鍵詞】卡爾曼濾波 案均賠款 馬爾科夫

一、概述

未決賠款準備金是保險公司責任準備金中最重要的部分，也是準備金精算師日常工作的主要部分。未決賠款準備金作為非壽險保險公司財務報表中最大的負債科目，而現階段國內保險公司普遍存在歷史數據缺乏以及數據質量不高的問題，因此，為了保證非壽險保險公司的穩健經營，提高準備金估計的精確性具有非常重要的意義。

在諸多未決賠款準備金估計的確定性方法中，案均賠款法對歷史信息的利用更加充分，包括賠款數據和案件數，但確定性方法無法判斷預測結果的誤差，無法度量不確定性風險。因此，本文將卡爾曼濾波法引入到案均賠款法中，預測損失頻率和損失程度，得到未決賠款準備金的動態估計，提高估計準確度，為保險公司預留準備金提供依據。

二、傳統案均賠款法

案均賠款法通過對賠款案件數和賠款金額的流量表使用鏈梯法，估計出各案件的最終案件數與案均賠款額，從而計算出最終賠款金額和未決賠款準備金（IBNR）。根據是否已結案，案均賠款法分為已報案案均賠款（PPCI）法和已結案案均賠款（PPCF）法，本文只針對已報案均賠款法進行分析和改進。

記累計已報案賠款為Ci，j，累計已報案件數為Ni，j，首先計算已報案案均賠款Xi，j，

（2.1）

根據已報案案均賠款Xi，j計算逐年進展因子fj及其平均值。

（2.2）

根據進展因子即可預測已報案案均賠款流量三角形的下三角部分，再通過Ni，j利用鏈梯法預測最終案件數。兩流量三角形對應相乘即得最終賠款，減去累計已報案賠款流量三角形的主對角線數據即得未決賠款準備金估計。

三、基于卡爾曼濾波的案均賠款模型

卡爾曼濾波在數學上是一種統計估算方法，通過處理帶誤差的數據得到的物理參數的最佳估計。通過建立狀態空間模型來描述數據的狀態參數變化的關系。

設yt是包含k個變量的k×1維可觀測向量，這些變量與m×1維向量βt有關，βt即為狀態向量。（3.1）被稱為“量測方程”。

（3.1）

表示成一階馬爾科夫過程，其狀態方程如下：

（3.2）

由于馬爾科夫過程的限制，這里首先需要先將案均賠款法中的累計賠款次數和累計案均賠款金額流量三角形轉化為增量數據。

兩個流量三角形的每一個支付年都是一個時間序列，形如，增量賠款次數和增量案均賠款金額的觀測向量數列分別表示為和。

根據Evans（2017）[1]的研究結果，假設增量擾動項服從正態分布，則損失頻率估計的量測方程為

（3.3）

其中，βt是待估計參數向量，Xt是t時刻觀測矩陣，υt是t時刻擾動項。James Sullivan（2006）[2]提出賠付變量隨進展年m服從關系（3.4）

（3.5）

則量測方程矩陣表示為

其中。

根據式（3.2）可以動態更新β數據，進而得到累計賠款次數和累計案均賠款金額的最終估計值，最終得到未決賠款準備金的最優估計。

參考文獻

[1]J.Evans，F.Schmid.Forecasting Workers Compensation Severities and Frequency Using the Kalman Filter.CAS Forum，Winter 2007：43-65.

[2]Greg Taylor，Graine Mc Guire，James Sullivan.Individual Claim Loss Reserving Condituined by Case Estimates.Taylor Fry Consulting Actuaries Paper，2006（11）：1-66.endprint