創設各類問題情境，組織學生自主探究
——“基本不等式”教學案例

江蘇省南京市臨江高級中學 李仲勝

創設各類問題情境，組織學生自主探究
——“基本不等式”教學案例

江蘇省南京市臨江高級中學 李仲勝

當代教育家蘇霍姆林斯基指出：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需求，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者，而在人的精神世界中，這種需要特別強烈。”因此，在課堂教學過程中，教師應充分發揮學生的主觀能動性，設計探索性與開放性的問題，給學生提供自主探索的機會，使他們積極主動地參與學習的全過程。課堂教學關鍵是“問題情境”的設置，通過“問題情境”的創設，使學生產生認知沖突，激發學生探究知識的欲望。本文中，筆者結合高中數學《必修5》中“基本不等式”這一節內容的教學，談談在課堂教學中如何以問題為中心組織學生自主探究。

一、創設應用性問題情境，開展探究性活動

在講授“基本不等式”這節課時，如果按照教材內容直接給出定理，學生會覺得很枯燥。我在教學中精心設計了如下問題：

問題1：我們教室前面的花壇是邊長為13米的正方形（如圖1）。現想種植四種不同顏色的花，請問：能不能設計出面積相等且長和寬分別為6米和7米的小長方形方塊？如果能，設計出圖案（如圖2）。若把正方形的邊長改為（a+b）米，小長方形的長和寬分別為a米和b米，情況又會怎么樣呢？

問題2：求正數a 和b的等差中項和等比中項，并猜想它們的大小關系。能不能根據問題1來驗證？

問題1的提出使學生產生了興趣，同學之間馬上議論起來。他們覺得問題有趣、親切，于是大家都躍躍欲試設計圖案。經過分析，動手操作，互相交流，互相探討，最后設計出如下美麗圖案（如圖3、圖4、圖5），有些同學還涂上了各種顏色。

從設計的圖形中可直觀得出：S正方形≥4S小長方形（當a=b時，取等號），即：，對于問題（2），要求正數a和b的等差中項和等比中項，同學們認為太容易了，但要比較它們的大小時，同學就有點疑惑了，難以確定。老師給足時間，讓學生仔細猜想，認真討論，并在關鍵時引導他們用特殊值來思考或觀察問題（1）的結果，找出問題之間的關系。于是同學們都積極參與，經過思索、比較、驗證，終于猜想出（a＞0，b＞0），這樣學生在愉快、有趣的活動中不知不覺探究到了數學定理，這時再給出基本不等式的定理已是水到渠成了。

二、創設開放性問題情境，開展探究性活動

證法1：用不等式基本性質：由（a-b）2≥0 得：（a+b）2-4ab≥0，∵a＞0，b＞0，（當且僅當a=b時，取等號）。

顯然，④是成立的。當且僅當a=b時，④中的等號成立。

證法3：用問題（1）中的正方形面積大于或等于四個長方形面積之和，得：（a+b）2≥4ab，從而可得：

通過創設開放性問題3并進行一題多解，可使學生拓寬視野，并從幾何圖形中（如圖6）直觀認識基本不等式定理，深刻理解基本不等式定理的意義，尤其能通過圖形理解定理中的等號條件。在課堂上多提出一些開放性問題，多開展這樣的探究性活動，既能使學生理解和掌握課本的知識，又能達到培養學生學習興趣和創新能力的目的。

三、創設變換引申問題情境，開展探究性活動

在課堂例題的教學中，如果就題講題，不思變換，學生往往印象不深，只知其一，不知其二，不能理解其中奧妙，若能通過一些讓學生感到意外的變例加以刺激，使他們無意之中看到了問題的嚴重性，往往可以引起學生的極大興趣和高度注意，從而留下較為深刻的印象。

以上幾個方面的變化有一定程度的關系，但不盡相同。給學生以神秘感，教師正好利用這點來集中學生的注意力。通過例題講解和引申問題的探究，使學生真正理解和掌握基本不等式定理的“一正、二定、三相等”，并且知道怎樣利用基本不等式定理求最值，問題4、5看似簡單、容易，但設有陷阱，能使粗心大意、考慮不周全的學生受到挫折。同時，問題難度是遞進式的、有層次的、由淺入深、由易到難的，這樣能使學生緊緊圍繞問題，逐步深入開展探究，從而使學生的探究能力得到提高，得到升華。

四、創設質疑性問題情境，開展探究性活動

在課堂練習中制造明顯錯誤，通過就錯論錯，錯中見正，不僅能有效地幫助學生辨別是非，解決疑惑，走出困境，更能激發學生的學習熱情與求知欲，積極思考，踴躍發言，令課堂氣氛活躍，課堂教學的效果也就更好了。看下面例題：

∴所以x+y的最小值為9 。

出示問題6后，學生個個睜大眼睛，上下來回看了一遍又一遍，如此答案，在學生看來似是而非，但錯在何處卻又迷惑不解，課堂氣氛隨即活躍起來。大家都覺得兩種解法都對，但又不知道答案為什么會不一樣，不能辯明事理。教師若一語道破了玄機，則不僅會使課堂教學失去生機，更重要的是難以達到預期效果。教師不著急，讓學生自由探究，終于有一雙慧眼發現了問題（6）的甲方法中，兩次用到基本不等式定理時，等號成立的條件不一致，故甲方法是錯的。通過對問題6的探究，使學生更全面、更深刻地理解定理，同時也提升了學生的學習熱情。

五、創設趣味性問題情境，開展探究性活動

在課堂上或課后，老師可適當對定理、例題等知識進行引申推廣，創設趣味性問題，提高學生的學習興趣與熱情，提高學生的求知欲，使學生在思考與探索問題的過程中掌握知識。

我在這節課的課外練習中補充了下面的問題：

問題7：

觀察上述各小題的結論，探究其規律，你們能得出什么結論？

讓同學們經過觀察、思考與探索，自己得出結論：“若干個正數的算術平均數大于或等于它們的幾何平均數?！?/p>

總之，通過對定理、例題等知識的引申推廣，創設一些趣味性問題讓同學們思考與探索，有助于培養學生觀察、類比等解題的能力，提高數學思維，有助于培養學生的學習興趣和探索精神，讓同學們通過自己的努力得出一些性質、公式，可讓他們有一定的成就感，使他們的學習興趣更濃，學習熱情更高漲。

由此可見，在數學課堂教學中，教師要精心設計有針對性、啟發性和趣味性的問題，為學生創設探究性活動的氛圍，從而使學生的學習達到最佳效果。在中學數學教學中開展探究性活動，有利于培養學生的數學情感，增強學生學好數學的自信心和克服困難的意志，有利于加深學生對所學知識的理解，掌握解決問題的方法和策略，更有利于培養學生的自主學習意識和合作精神。