非結構網格的有限體積法研究

張海軍　李雪

摘 要 基于雙曲守恒律方程，詳細闡述了非結構三角形網格的有限體積方法。在該方法中，通過運用數值流函數來近似計算線積分，并且詳細介紹了常見的三種數值流函數。時間的離散采用三階TVD Runge-Kutta方法。

關鍵詞 有限體積法 非結構網格 數值流函數 龍格-庫塔法

中圖分類號：V211 文獻標識碼：A

0 引言

有限體積方法可以認為是有限元法和有限差分法的結合，所以有限體積法吸取了有限元網格剖分靈活的優點，克服了差分法網格適應性差的缺點。二十世紀八十年代以來，由于非結構網格的發展，有限體積法取得了很大的進步，為雙曲型守恒律方程的發展提供了很大的空間。因此，非結構網格下的有限體積法已經成為數值模擬復雜、高速流動的重要方法。

1 格式的構造

1.1 空間離散

對于二維標量雙曲守恒律方程

對計算區域采用規則的三角形網格剖分，以三角形單元本身作為控制體，對上式在三角形單元A上積分得：

利用Green公式得：

其中是U在三角形A的網格平均值，是三角形A的面積，是三角形A的第k條邊，是第k條邊對應的外法向量。定義，且定義外法向量的模長為對應邊的長度，用中矩形公式近似上式中的積分可得：

。

其中表示第k條邊的中點，表示與三角形A的第k條邊共邊的三角形對應邊的重構函數，為數值流函數。

1.2 數值流函數的近似

數值流函數是近似，常用的有三種形式：

第一種形式為算術平均形式：

；

第二種形式為Lax-Friendrich數值流函數：

；

其中是Jacobian矩陣的復合線性函數。

第三種形式為Roe的Riemann解算子，

。

1.3 時間離散

在有限體積法的構造中，人們習慣對時間和空間分別進行處理，時間方向的離散一般采用文獻[3]中的TVD Runge-Kutta方法。

2 結語

在非結構的三角形網格下，詳細描述了雙曲守恒律方程的有限體積方法，通過運用數值流函數來近似計算積分。時間的離散用三階TVD Runge-Kutta方法表達式。

參考文獻

[1] 趙延生.非結構網格的ENO有限體積方法研究[D].長沙：國防科學技術大學研究生院， 2004，1-52.

[2] 朱華君.二維淺水波方程的高階有限體積格式[D].長沙：國防科學技術大學研究生院， 2006，1-54.

[3] Fjordholm U， Mishra S， Tadmor E. Energy preserving and energy stable schemes for the shallow water equations[C].2009，93-139.endprint