速解復(fù)合函數(shù)中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

徐靖婷

摘 要 函數(shù)問題中涉及復(fù)合函數(shù)的題目向來是高中數(shù)學(xué)考試乃至高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)，這種問題考察了學(xué)生的邏輯思維能力以及綜合理解能力，需要學(xué)生冷靜的分析，理清層次，熟悉基本題型并能隨機(jī)應(yīng)變，復(fù)合函數(shù)的理解本身就是一個(gè)難點(diǎn)，而復(fù)合函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，更是直接反映了學(xué)生對(duì)該類題的掌握能力，要求較高。

關(guān)鍵詞 復(fù)合函數(shù) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 問題

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

基本解題思路如下：

（1）辨認(rèn)復(fù)合方程，如：當(dāng)復(fù)合函數(shù)F（x）=f2（x）+af（x）+b=0時(shí)的這個(gè)式子f2（x）+af（x）+b=0就是“復(fù)合方程”，而復(fù)合函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是這里復(fù)合方程的根。當(dāng)沒有明確指出有中間變量時(shí)，需要觀察，幷設(shè)出。

（2）理解并簡(jiǎn)化，映射x→f（x）→f2（x）+af（x）+b，設(shè)中間變量f（x）=u，最終變量f（x）=y，y=u2+au+b=0即。

（3）畫圖并解出y=u2+au+b=0，解出u1，u2，又u1=f（x1），u2=f（x2）分別解得x1，x2

而在具體問題中，想要一點(diǎn)不出錯(cuò)，也并不是一件易事，下面，就讓我們以幾個(gè)題目為例來探討一下如何才能對(duì)這類題做到“快、準(zhǔn)、狠”。

例1、（2005年上海考題）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)，則關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是。

分析：由題意得，函數(shù)f（x）是具體的，應(yīng)先畫出，根據(jù)圖像分析方程f2（x）+bf（x）+c=0的解的情況，討論兩同根或兩異根，根據(jù)圖像寫范圍，得解

畫出圖像如下：

f2（x）+bf（x）+c=0，設(shè)f（x）=u，

則u2+bu+c=0

I當(dāng)u1=u2=u0，不可能有7個(gè)x滿足，舍

II當(dāng)有兩解u1，u2時(shí)，u1=0，u2>0即，u1 u2=c=0，u1+u2=-b>0，故c=0，b<0

綜上可知：充要條件是c=0，b<0。

評(píng)注：解決本題關(guān)鍵是圖像要畫對(duì)，幾十分類討論，利用根與系數(shù)關(guān)系得出最后答案，掌握了方法，此題很簡(jiǎn)單，也就是說，本題是——畫圖，觀察。

例2、若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f（x1）=x1關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是。

分析：極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的穿越點(diǎn)零點(diǎn)，觀察并理解得：f（x）導(dǎo)函數(shù)的f'（x）x的圖像與目標(biāo)函數(shù)3（f（x））2+2af（x）+b=0的圖像形狀一樣，則極值點(diǎn)的值就是目標(biāo)函數(shù)的零點(diǎn)。

解：f（x）求導(dǎo)得：f'（x）=3x2+2ax2+b，3x2+2ax+b=0，兩根為x1，x2，可列如下表格：

由表格得以下圖像：

設(shè)：中間變量為u，則3u2+2au+bu=0的兩根u1=x1，u2=x2由右圖得：當(dāng)f（x）的函數(shù)值，即u為x1，x2時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值共有3個(gè)。

評(píng)注：本題多了一個(gè)單調(diào)性的判斷，也就多了一個(gè)導(dǎo)函數(shù)，更加令人條理不清，本題是——分析，畫圖，觀察。

例3、（2006年湖北高考理科）關(guān)于的方程（x21）|x1|+k=0，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；

其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）

分析：本題沒有直接指明復(fù)合函數(shù)的存在，但原函數(shù)不可能直接畫出判斷根，仍要設(shè)出中間變量，變?yōu)閺?fù)合函數(shù)便討論。

解：設(shè)f（x）=|x21|=u，畫出圖像F（x）=u2u+k。方程u2u+k，△=14k，

k>時(shí)，△<0，無解

時(shí)k=時(shí)，u=，x有4解，

當(dāng)k<時(shí)，有u1，u2兩解，設(shè)u1

00， u1 u2=1， （下轉(zhuǎn)第214頁）（上接第152頁）∴0

k=0時(shí)，u1 u2=0，u1+u2=1，∴u1=0，u21=1，x有5解

k<0時(shí)，∴u1 u2<0，u1<0，u2>1，x有2解

綜上所述：其中假命題的個(gè)數(shù)是0個(gè)。

評(píng)述：必須把復(fù)合函數(shù)的思想牢記在心，準(zhǔn)確畫出中間變量的圖形，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，善用根與系數(shù)關(guān)系，思維縝密才可全部解除。本題為——設(shè)中間變量，畫圖，討論。

再明白以上三個(gè)例題以后，對(duì)于復(fù)合函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，相信讀者們已經(jīng)不再害怕了，只需清理映射關(guān)系，畫出中間變量的函數(shù)圖像，再加以討論即可，而題目往往會(huì)在幾個(gè)關(guān)鍵之處設(shè)陷，需要學(xué)生抓住題目本質(zhì)，對(duì)復(fù)合函數(shù)的模型很熟悉。下面，讓我們通過一個(gè)練習(xí)鞏固以上知識(shí)。

練習(xí)：函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱。據(jù)此可推測(cè)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是？（ ）

A.{1，2} B.{1，4} C.{1，2，3，4} D.{1，4，16，64}

分析：本題條件相當(dāng)抽象，兩個(gè)人任意二次函數(shù)的映射。但很明顯是復(fù)合函數(shù)。觀察選項(xiàng)可知：本題考的是二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，及對(duì)稱性。如果是兩個(gè)解，中間變量定只有一解，任意都可以取，對(duì)稱軸任意；如果有四個(gè)解，中間變量就是兩個(gè)解，這四個(gè)的某個(gè)組合必須出現(xiàn)兩個(gè)相同的對(duì)稱抽。

解：由分析可知：兩個(gè)解必滿足。排除A，B

C中1+4=2+3，二者對(duì)稱軸相同，滿足f（x）圖像，同理，D不滿足。

故選擇D

評(píng)述：如果對(duì)復(fù)合函數(shù)理解到位了，此題手到擒來，必能做到“快準(zhǔn)狠”。由此可見，復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，只要掌握了以上方法，是可以速解的。