在圓錐曲線中雙切線的k聯(lián)立處理

宋昱霖

摘 要 在圓錐曲線章節(jié)中，過一點(diǎn)向曲線引發(fā)兩條切線的模型常常出現(xiàn)。我們?cè)诒疚闹蟹Q它為“雙切線問題”，雙切線問題形狀判斷不難，畫出圖往往就可以確定。然而本知識(shí)包括兩個(gè)完全不相關(guān)的考點(diǎn)，其一：是我們熟悉的“切點(diǎn)弦”，其二：就是我們今天探討的知識(shí)點(diǎn)“k聯(lián)立”。

關(guān)鍵詞 圓錐曲線 雙切線問題 k聯(lián)立

中圖分類號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

如何從題干條件把握考點(diǎn)是學(xué)生們處理雙切線問題的重要難點(diǎn)。下面從幾個(gè)例題分別闡述。

例1、設(shè)M、N為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M、N分別作拋物線C的切線，，與分別交于兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，若。

（1）求點(diǎn)的軌跡方程

（2）求證：的面積為一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值。

解：（1）設(shè)點(diǎn)，

直線是過點(diǎn)的任意直線

把它與拋物線聯(lián)立

得到

我們需要直線與曲線相切，即聯(lián)立方程：

即：

得到：。其中：

，

，

故

即：

所以有：

故點(diǎn)軌跡：

【分析】由圖可知，本問考查雙切線問題。閱讀核心條件，發(fā)現(xiàn)，考查的是兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是兩條切線的橫截距，只跟兩條切線有關(guān)，與切點(diǎn)并無關(guān)系，因此考查的知識(shí)點(diǎn)是“k聯(lián)立”。

（2）由（1）

設(shè)，

由切點(diǎn)弦定義有

聯(lián)立得

∴

到直線距離

∴，有（1）得

∴

【分析】本問重點(diǎn)考查了直線，包括弦長(zhǎng)和距離。屬于標(biāo)準(zhǔn)的切點(diǎn)弦問題。

例2、已知圓心率的右焦點(diǎn)F為（x1）2+y2=1的圓心，過上動(dòng)

點(diǎn)作兩切線交于、.求最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)？

解：由題意，

設(shè)

直線是過點(diǎn)的任意直線

把它與圓聯(lián)立

直線與圓相切

即圓心到直線距離

得到：

∴，

，即

同理

設(shè)，

求導(dǎo)解得當(dāng)時(shí)，取得最大值

∴

通過這道題，可以看出在代換兩點(diǎn)后，可利用韋達(dá)定理求截線長(zhǎng)，再通過橢圓方程代換解題。

弦長(zhǎng)間接考查兩條切線，屬于標(biāo)準(zhǔn)的雙切線k聯(lián)立問題。

例3、拋物線上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)，。

（1）求；（2）求證：直線恒過定點(diǎn)；（3）設(shè)（2）中直線恒過定點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

（1）已知：點(diǎn)

設(shè)直線是過點(diǎn)的任意直線

把它與拋物線聯(lián)立

得到：

我們需要直線與曲線相切，即聯(lián)立方程：

即：

所以

【分析】?jī)汕芯€相互垂直，即斜率乘積為，考查切線本身，k聯(lián)立。

（2）點(diǎn)，其中

由切點(diǎn)弦公式可以推出，代入

得到 必過焦點(diǎn)

【分析】切點(diǎn)連線過定點(diǎn)，需要使用上問結(jié)論，標(biāo)準(zhǔn)的切點(diǎn)弦問題。

（3）設(shè)，其中，即

聯(lián)立方程得到：

∴

∴定值

【分析】通過切點(diǎn)弦方程反推切線公共點(diǎn)，屬于切點(diǎn)弦知識(shí)的應(yīng)用。

通過以上例題我們可以總結(jié)出兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的具體區(qū)分是：考查切點(diǎn)——切點(diǎn)弦；考查切線本身——k聯(lián)立。牢記判定條件，使用正確的解題方法，是解決雙切線問題的核心要義。endprint