MHD方程的高效數值方法研究

李雪　張海軍

摘 要 針對磁流體方程，構造一種高分辨率熵穩定格式。新格式通過在通量函數中嵌入限制器并在單元交界面處進行WENO重構以達到高分辨率的效果。算例結果表明，格式具有可靠性、無振蕩等特性。

關鍵詞 磁流體方程 CWENO重構 熵穩定 高分辨率

中圖分類號：V211.3 文獻標識碼：A

0 引言

磁流體力學（Magnetohydrodynamics，簡記為 MHD）是用經典流體力學和電動力學的方法研究導電流體和電磁場相互作用的學科，通常指磁流體動力學。導電流體在電磁場里運動時，會產生電流，該電流與磁場相互作用，產生洛倫茲力，不僅改變流體的運動，而且改變電磁場。研究該類問題時，既要考慮其力學效應，又要考慮其電磁效應。MHD方程是非線性偏微分方程組，它的基本方程由流體力學中的Navier-Stokes方程（包括質量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程）和電磁學中的Maxwell方程耦合而成。

MHD方程組包含的方程個數多且具有非線性，一般情況下其解析解很難得到，只能數值求解，因此磁流體力學方程的高效數值方法研究是十分重要和非常必要的。本文主要研究求解MHD方程的高分辨率、無振蕩的高效數值方法。

為了簡單起見，在（x，t）平面內采用均勻網格，守恒型半離散格式的一般表達式為：

dqj（t）/dt=-dx（fj+1/2fj-1/2） （1）

1 高分辨熵穩定格式

Winters等基于Euler方程熵守恒通量的構造方法，得到MHD方程的熵守恒通量f C，

本文在此基礎上嵌入S-M限制器Q，構造了一種MHD方程的高分辨率熵穩定數值通量：

fESL=fc0.5RA（IQ）SRT[[V]] （3）

其中，R為MHD方程通量函數f（q）的Jacobi矩陣的右特征向量矩陣，A為特征值矩陣，S為對角放縮比例矩陣。

2 WENO重構

為了進一步改進熵穩定格式，我們引入近年發展起來的加權本質無振蕩方法（WENO： Weighted Essentially Non-Oscillatory）。WENO方法通過構造基于不同模板的插值多項式的加權凸組合來獲得單元交界面處的高階近似。凸組合中的權重是一些所謂光滑因子的非線性函數，這些光滑因子可以度量模板的光滑性。如果解是光滑的，光滑因子的量級大致相同，使得各權重接近于理想的凸組合系數，從而在光滑區域WENO 格式可達到盡可能高的精度。若解在某個模板范圍內出現間斷，該模板相應的權重會自動退化為零。WENO 格式只選擇相對光滑的模板來構造插值多項式，避免偽振蕩的產生。本文采用五階精度的 WENO方法來獲得單元交界面處的近似qi+1/2L，qi+1/2R，分別替代原來的qi和qi+1，由此得到的格式稱為W-ESL格式，具體的數值通量為

fE-ESL=f C（qi+1/2L，qi+1/2R）0.5RA（IQ）SRT（Vi+1/2L，Vi+1/2R） （4）

3 數值算例

本節討論Brio and Wu高馬赫數激波管問題，Brio和Wu將該激波管問題用來考核數值格式在解決高馬赫數問題時的穩定性。其初始條件為

計算區域[-1， 1]，終止時間T=0.012。采用W-ESL格式進行計算，計算結果示于下圖（其中的Ref代表參考解，由取5000個網格點的CWENO格式求得）：

4 結論

通過對數值算例的結果進行分析，可以看出嵌入限制器并采用單元交界面處的WENO重構所得到的高分辨率熵穩定格式可以成功運用到MHD方程的數值求解當中，并獲得很好的計算結果，具有高分辨率、無振蕩等特性。

參考文獻

[1] Winters A R， Gassner G J. Affordable， entropy conserving and entropy stable flux functions for the ideal MHD equations [J].J Comput Phys，2016，304（1）：72-108.

[2] 任炯，封建湖，劉友瓊，梁楠.求解雙曲守恒律方程的高分辨率熵相容格式[J].計算物理，2014，32（5）：539-551.

[3] Qiu J， Shu C W. On the construction， comparison， and local characteristic decomposition for high-order central WENO schemes[J].J Comput Phys，2002，183：187-209 .endprint