運用行列式求解平面法向量

汪澤辰

摘 要 在求解有關立體幾何的問題時，常常要用到法向量。用法向量求解決有關二面角的問題。相比如其它方法更直接也容易下手，而在求法向量的過程中往往會出錯，因為需要聯立三元一次方程，計算量大。因此，可以用一種更為簡單且不易出錯的方法求解法向量，這便是行列式。

關鍵詞 行列式 法向量 求解

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A

1什么是行列式？

行列式在數學中，是由解線性方程組產生的一種算式，是取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數和。

對于二階和三階行列式計算比較容易，中學生通過基本定義可以快速理解。

2應用行列式求法向量

然而行列式對于立體幾何求解法向量，可以大大的降低運算，尤其針對動點問題。如下：

已知平面內不共線的兩向量

設其法向量為，在三個方向的分項是為

則有：

即

3例題分析

例1：平面，是矩形，與平面所成角是，點下是的中點，點在邊上移動，當為何值時，二面角的大小為

分析：因為面，那么為面的法向量那么可以設面的法向量為，并用將表示。

解：設

以為原點，

為軸正方向

為軸正方向

為軸正方向

建立空間坐標系：

解得：

例2：（2013，湖南）在直棱柱中，，，，，求直線與平面所成角的正弦值

分析：題中無虛設未知數，那么可以求出平面的法向量

解：常規解法

設是平面的一個法向量，

則 令，則

設于平面所成角為

使用行列式求解

解得法向量

評注：若與互相垂直的向量坐標都不為0，那么運算量不僅大，驗算也很麻煩。若用行列式，便顯得簡潔明了，以減少計算中出現不必要的錯誤。endprint