Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數上界的進一步研究

李艷艷

(文山學院 數學學院, 云南 文山 663009)

Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數上界的進一步研究

李艷艷

(文山學院 數學學院, 云南 文山 663009)

通過引入恰當的參數，構造嚴格對角占優矩陣，并利用該矩陣與Nekrasov矩陣的關系，得到Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數的帶有參數的2個新上界.數值算例說明:一定情況下，得到的新上界提高了現有的結果，從而對現有文獻進行了有益補充.

Nekrasov矩陣； H矩陣； 無窮范數； 逆矩陣； 上界

H矩陣被廣泛應用于眾多領域[1]，它的許多子類都得到了大量學者的研究[2-14]，但是Nekrasov矩陣作為H矩陣的重要子類，關于它的研究主要集中在矩陣的判定、特征值的估計等方面[5-8].本文研究目前較少探討但很有意義的該類矩陣的逆矩陣無窮范數的上界問題.

1 預備知識

令Cn×n(Rn×n)表示復(實)矩陣的集合，N表示自然數的集合.

設A=(aij)∈Rn×n，若A的比較矩陣

可逆，且〈A〉-1≥0，則稱〈A〉是M矩陣，同時稱A是H矩陣.

設A=(aij)∈Rn×n，若

則稱A是嚴格對角占優矩陣；若

i=2,3,…,n，

則稱A是Nekrasov矩陣.

為了后面研究的需要，將矩陣A分裂為

A=D-L-U，

其中

D=diag(a11,a22,…,ann)，

引理 1[9]設A=(aij)∈Rn×n是非奇異H矩陣，則

引理 2[10]設

A=(aij)∈Rn×n，n≥2，aii≠0，

則

e=(1,1,…,1).

引理 3[11]矩陣A=(aij)∈Rn×n，n≥2是Nekrasov矩陣的充要條件是

(|D|-|L|)-1|U|e

同時，該條件還隱含了E-(|D|-|L|)-1|U|是嚴格對角占優矩陣，其中E是單位矩陣.

引理 4[12]設A，B∈Rn×n，A、A-B是非奇異矩陣，則

(A-B)-1=A-1+A-1B(E-A-1B)-1A-1.

引理 5[12]若‖A‖<1，那么E-A是非奇異的，且

‖(E-A)-1‖.

2 Nekrasov矩陣無窮范數的上界

下面通過引入恰當的參數，構造嚴格對角占優矩陣，并利用該矩陣與Nekrasov矩陣的關系，得到Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數的帶有參數的2個新上界.

定理 1 設矩陣A=(aij)∈Rn×n是Nekrasov矩陣，若

則

‖A-1‖

其中

z1(A)=1，

證明 令

C=E-(|D|-|L|)-1|U|，

由于矩陣A是Nekrasov矩陣，由引理3知，C是嚴格對角占優矩陣，再令

C(μ)=CD(μ)=(E-(|D|-|L|)-1|U|)D(μ)，

其中

由文獻[13]中的引理4知C(μ)也是嚴格對角占優矩陣.進一步

C(μ)=(|D|-|L|)-1〈A〉D(μ)，

那么

〈A〉=(|D|-|L|)C(μ)D(μ)-1，

即

‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖C(μ)-1‖‖(|D|-|L|)-1‖.

又由引理1知

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖，

所以

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖C(μ)-1‖‖(|D|-|L|)-1‖.

為了得到‖A-1‖的上界，分別研究‖C(μ)-1‖和‖(|D|-|L|)-1‖的界.

首先,研究‖(|D|-|L|)-1‖的界.因為|D|-|L|是M矩陣，則

‖(|D|-|L|)-1‖=‖(|D|-|L|)-1e‖，

令

y=(|D|-|L|)-1e，

則

e=(|D|-|L|)y.

寫成分量有

‖(|D|-|L|)-1‖=‖y‖.

其次,研究‖C(μ)-1‖的界.利用C(μ)的定義和引理4知

‖C(μ)-1‖=

‖[(E-(|D|-|L|)-1|U|)D(μ)]-1‖≤

‖(E-(|D|-|L|)-1|U|)-1‖‖D(μ)-1‖=

‖E+E-1(|D|-|L|)-1|U|(E-E-1(|D|-

|L|)-1|U|)-1E-1‖‖D(μ)-1‖≤

‖E‖+‖E‖‖(|D|-|L|)-1‖‖|U|‖×

(1)

將

‖(|D|-|L|)-1‖=‖y‖,

代入(1)式有

‖C(μ)-1‖.

結合以上得

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖C(μ)-1‖‖(|D|-|L|)-1‖=

‖D(μ)‖‖D(μ)-1‖

關于μ的取值，分類討論如下:

當μ>1時有

‖A-1‖，

當μ<1時有

‖A-1‖；

即

‖A-1‖

定理證畢.

定理 2 設矩陣A=(aij)∈Rn×n是Nekrasov矩陣，若

則

‖A-1‖

其中

z1(A)=1，

證明 設B=|D|C，由于矩陣A是Nekrasov矩陣，則由引理3知E-(|D|-|L|)-1|U|，B是嚴格對角占優矩陣.再令

B(μ)=BD(μ)=

即

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖B(μ)-1‖‖(E-|L||D|-1)-1‖.

為了得到‖A-1‖的上界，分別研究‖(E-|L||D|-1)-1‖和‖B(μ)-1‖的界.

首先研究‖(E-|L||D|-1)-1‖的界.由于E-|L||D|-1是M矩陣，則

定義

則

寫成分量形式有

z1(A)=1，

則

其次研究‖B(μ)-1‖的上界.由B(μ)的定義知

‖B(μ)-1‖≤‖|D|-1‖×

而

‖(E-(|D|-|L|)-1|U|)-1‖=

‖E+E-1(|D|-|L|)-1|U|(E-

E-1(|D|-|L|)-1|U|)-1E-1‖=

‖E+E(|D|-|L|)-1|U|(E-

E(|D|-|L|)-1|U|)-1‖≤

‖E‖+‖E‖‖(|D|-|L|)-1‖×

‖|U|‖

1+‖(|D|-|L|)-1‖‖|U|‖×

所以

‖B(μ)-1‖≤

‖|D|-1‖

‖D(μ)-1‖.

由以上關系得

‖A-1‖≤‖〈A〉-1‖≤

‖D(μ)‖‖B(μ)-1‖‖(E-|L||D|-1)-1‖≤

下面關于μ的取值進行如下討論：

當μ>1時有

‖〈A〉-1‖,

當0<μ<1時有

‖〈A〉-1‖

則

‖A-1‖

綜上所述，定理得證.

3 數值算例

且由定義知A是Nekrasov矩陣，應用文獻[13]中的估計式得‖A-1‖≤0.402 3，應用文獻[14]中的估計式得‖A-1‖≤0.445 3；應用本文的結果，當μ=0.98時得

‖A-1‖≤0.397 6， ‖A-1‖≤0.389 1,

而其真值為‖A-1‖=0.330 8.

該數值算例說明，本文的估計式改進了現有的結果.

致謝 文山學院科學研究項目(16WSY11)對本文給予了資助，謹致謝意.

[1] CVETKOVIC L.Hmatrix theory vs Eigenvalue localication[J]. Num Algor,2006,42:229-245.

[2] 高美平.M矩陣與其逆的Hadamard積的最小特征值的下界新的估計式[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2014,37(1)：90-97.

[3] 李艷艷,李耀堂,蔣建新. 嚴格對角占優M矩陣A的‖A-1‖上界估計式的改進[J]. 云南大學學報(自然科學版),2015,37(1):5-8.

[4] 李瑩,呂智超,查秀秀,等. 矩陣的特殊結構最小范數廣義逆[J]. 四川師范大學學報(自然科學版)，2015,38(5):678-681.

[5] LI W. On Nekrasov matrices[J]. Linear Algebra and Its Application,1998,281(1):87-96.

[6] 郭愛麗,聶祥榮,武玲玲. Nekrasov矩陣行列式界的估計[J]. 安徽大學學報(自然科學版),2015,39(6):15-18.

[7] 王銀燕,徐伸,陸全. 廣義Nekrasov矩陣的迭代判定準則[J]. 高等學校計算數學學報,2015,37(1):19-30.

[8] 郭愛麗,劉建州. 廣義Nekrasov矩陣的新判據[J]. 數學的實踐與認識,2016,46(5):239-245.

[9] BERMAN A, PLEMMONS R J. Nonnegative matrices in the mathematical sciences[C]//Classics in Applied Mathematics. New York:Academic Press,1979.

[10] ROBERT F. BlocsHmatrices et convergence des methods iteratives classiques par blocs[J]. Linear Algebra and Its Application,1969,2(2):223-265.

[11] SZULC T. Some remarks on a theorem of Gudkov[J]. Linear Algebra and Its Application,1995,225(225):221-235.

[12] 趙建興,桑彩麗. 嚴格α-對角占優M矩陣A的‖A-1‖的上界估計[J]. 數學的實踐與認識,2015,45(19):280-284.

[13] LI C Q , PEI H, GAO A, et al. Improvements on the infinity norm bound for the inverse of Nekrasov matrices[J]. Numerical Algorithms,2016,71(3):613-630.

2010 MSC:15A15； 15A57

(編輯 余 毅)

Further Study on the Upper Bound of the Infinity Norm for the Inverse Matrix of the Nekrasov Matrix

LI Yanyan

(CollegeofMathematics,WenshanCollege,Wenshan663009,Yunnan)

By introducing the appropriate parameters, we construct the strictly diagonally dominant matrix. Further, by the relationship between the matrix and the Nekrasov matrix, two new upper bounds of the infinity norm of the inverse matrix of the Nekrasov matrix are obtained. Numerical example explain that, under certain circumstances, some of the existing results in the new territories have been raised, so this is a useful supplement to the existing literature.

Nekrasov matrices;Hmatrices; infinity norm; inverse matrices; upper bounds

2016-09-05

國家自然科學基金(11261049)和云南省科技廳應用基礎研究項目(2013FD052)

李艷艷(1982—)，女，講師，主要從事矩陣理論及其應用的研究，E-mail：529374583@qq.com.

O151.21

A

1001-8395(2017)04-0491-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.011