廣義神經傳播方程新的非協調混合元方法的超逼近分析

張厚超, 毛鳳梅, 白秀琴

(平頂山學院 數學與統計學院, 河南 平頂山 467000)

廣義神經傳播方程新的非協調混合元方法的超逼近分析

張厚超, 毛鳳梅, 白秀琴

(平頂山學院 數學與統計學院, 河南 平頂山 467000)

廣義神經傳播方程; 非協調混合元方法; 半離散及全離散格式; 超逼近

1 預備知識

考慮文獻[1]廣義神經傳播方程的初邊值問題

(1)

其中,Ω?R2是具有Lipschitz連續邊界的有界凸多邊形區域,?Ω為Ω的光滑邊界,T∈(0,+∞)為一定值,X=(x,y),u0(X)、u1(X)是充分光滑的已知函數,f(u)、g(u)均為有界函數,且滿足對變量u的Lipschitz連續條件.

眾所周知,混合有限元方法是有限元領域中最活躍的分支之一,被廣泛應用于微分方程的有限元分析[13-14].與傳統Galerkin方法相比,混合有限元方法具有對空間要求光滑度較低,并能同時得到原始變量和中間變量的誤差估計等優勢.該方法對廣義神經傳播方程的應用也受到較多關注,文獻[15-16]分別研究了廣義神經傳播方程的H1-Galerkin混合元格式和修正的H1-Galerkin混合元方法,都得到了半離散格式下的原始變量和相應中間變量的最優誤差估計.文獻[17]利用Q00+span{1,x,y,y2}×span{1,x,y,x2}元給出了廣義神經傳播方程的一個低階非協調混合元格式,得到了相關變量的最優誤差估計.但是,以上研究均是基于傳統的混合元格式,有的以投影作為分析的必要工具[16].近年來,文獻[18-19]針對二階橢圓問題提出了一種新的混合元格式,較之傳統混合元具有空間對匹配更容易滿足離散的BB條件,自由度少,且可以避免對矢量有限元空間的試探函數進行散度運算等優點.目前,這種格式已被廣泛應用于二階橢圓問題[20]、拋物方程[21]和Sobolev方程[22]的高精度分析.

2 混合有限元的構造及性質

定義混合有限元空間

Vh={vh;vh|K∈span{1,x,y,x2,y2},

對于u∈H1(Ω),w∈(H1(Ω))2,設Ih:H1(Ω)→Vh和Πh:(L2)2→Wh分別為由Vh和Wh誘導的插值算子,滿足:Ih|K=IK,Πh|K=ΠK及

(2)

和

其中n是對應邊li,i=1,2,3,4的單位外法向量.

下面給出幾個引理,它們在后面的誤差分析中有重要作用.

引理 2.1[23]若p∈(H2(Ω))2有

(3)

引理 2.2[24]若u∈(H1(Ω))有

(4)

引理 2.3[25]若p∈(H2(Ω))2有

(5)

3 半離散格式及超逼近分析

為了構造問題(1)的混合元格式,引入中間變量p=-(▽ut+▽u),則問題(1)等價于

(7)

其中(u,v)=∫Ωuvdxdy.

考慮(7)式的半離散格式為:求{uh,ph}:[0,T]→Vh×Wh,使得

(8)

定理 3.1 問題(8)的解存在且唯一.

(8)式可表示為如下的等價形式

(9)

其中

因為矩陣C是對稱正定矩陣,由(9)式的第一和二式可得

(10)

(10)式是一個關于向量H(t)的微分方程,且A是對稱正定的,由注意到F是Lipschitz連續的,由常微分方程解的理論知[26]:當t>0時,H(t)存在且唯一,進而H(t)存在且唯一,即問題(8)存在唯一解.證畢.

下面先討論上述問題的超逼近性質.

定理 3.2 設{u,p}和{uh,ph}分別是(7)和(8)式的解,u,ut,utt∈H2(Ω)∩W1,∞,p∈(H2(Ω))2,則

(11)

(12)

證明 令u-uh=(u-Ihu)+(Ihu-uh)η+ξ,p-ph=(p-Πhp)+(Πhp-ph)ρ+θ,由(7)和(8)式可得下面的誤差方程

在(13)式中令vh=ξt,wh=▽ξt,得

(14)

注意到(14)式左端可表示為

下面依次估計Ai,i=1,2,…,6.

利用Schwarz不等式及Young不等式,可得

根據假設f(·),g(·)是Lipschitz連續的,則有

根據引理2.2的第一式,可得

A4=A5=0.

利用導數轉移技巧以及引理2.3,則有

將上述關于Ai,i=1,2,…,6的估計以及(15)式代入(14)式,并由引理2.2的第二式,可得

(16)

對(16)式兩端都乘以2,再從0到t積分,并利用ξt(0)=0,ξ(0)=0及Gronwall引理可得

(17)

由(11)式得證.

在(13)式中令vh=ξtt,Wh=▽ξtt,得

(18)

下面對(18)式右端各項進行估計,類似于Ai,i=1,2,…,5的估計,則有

B5=B6=0.

利用導數轉移技巧以及引理2.3,則有

將上述對Bi,i=1,2,…,7的估計代入到(18)式,則有

將上式兩端都乘以2,然后從0到t積分,并注意到ξt(0)=0,▽ξt(0)=0,利用(17)式,則有

由Fubini定理知

將其代入到(19)式,然后利用Gronwall不等式得

(20)

(21)

利用Schwartz不等式及Young不等式以及引理2.2,容易驗證

將對Di,i=1,2,…,5的估計、(17)和(20)式代入(21)式得

定理得證.

4 全離散格式及超逼近分析

下面給出問題的全離散逼近格式,并進行誤差分析.

問題(7)的全離散等價表示形式為

定義(22)式的全離散逼近格式:求{Un,Pn}∈Vh×Wh,使得

(23)

為了進行誤差估計,引入如下記號:

由(22)和(23)式,?vh∈Vh,Wh∈Wh,可得

定理 4.1 設{u(tn),p(tn)}和{Un,pn}分別是問題(23)和(24)的解,假設u∈L∞(0,T;H2(Ω)),ut,utt∈H2(Ω),uttt∈L∞(0,T;H1(Ω)),uttt∈L∞(0,T;L2(Ω)),p∈L∞(0,T;H2(Ω))有

Ch2F1+Cτ2F2,

(25)

其中

(26)

(26)式的左端可表示為

(27)

對(26)式右端各項進行估計,注意到

則有

根據引理2.2的第一式得

E2=E3=0.

接下來估計E4,先將E4分裂為下面3項,然后分別進行估計.

根據假設知f(·)是有界的,由Schwarz不等式有

同理可得

注意到?i=1,2,…,n-1有

(28)

綜合E4j,j=1,2,3的估計以及(28)式和引理2.2的第二式,則有

根據引理2.3得

將(27)式及上述對Ei,i=1,2,…,8的估計代入到(26)式,然后兩端從1到J,J=1,2,…,n-1,求和得

(29)

根據引理2.2的第二式知

(31)

在(31)式中取適當小的τ,使得1-Cτ>0,然后利用離散的Gronwall不等式,則有

(32)

(33)

根據(33)式可得

利用引理2.1以及引理2.2的第一式,容易驗證

G4=G5=0.

類似于E8的估計,可得

將上述對Gi,i=1,2,…,6的估計代入(33)式并取充分小的ε,可得

(34)

定理得證.

注 4.1 容易驗證,通過利用文獻[21]中構造的插值后處理算子,可以得到相應的超收斂結果.值得一提的是,文獻[27]利用文獻[28-29]的協調混合元,對f(u)=f(X)的特殊情況,在全離散格式下得到了原始變量H1模意義下的超逼近和超收斂結果以及中間變量p的最優誤差估計.而本文利用非協調混合元對方程(1)得到了上述變量的超逼近結果,本文的分析結果是對文獻[27]以及文獻[6-11]的延伸和擴展.

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2010 MSC：65N15; 65N30

(編輯 鄭月蓉)

Superclose Estimates Analysis of a New Mixed Finite Elements Method for Generalized Nerve Conduction Equation

ZHANG Houchao, MAO Fengmei, BAI Xiuqin

(SchoolofMathematicsandStatistics,PingdingshanUniversity,Pingdingshan467000,Henan)

Based on the nonconformingEQrot1element and the Raviart-Thomas(R-T) element, a new lower order nonconforming mixed finite elements method is proposed for Generalized nerve conduction equation. Firstly, the existence and uniqueness of approximation solutions are proved. Secondly, based on the high accuracy results of the about two elements and derivative transferring technique with respect to the time variable, the superclose with orderO(h2) for the primitive solution inH1-norm and the intermediate variablepinL2-norm are obtained under semi-discrete scheme respectively. Finally, a new fully-discrete approximation scheme is proposed and the superclose estimates with orderO(h2+τ2) are deduced for the primitive solution inH1-norm and the intermediate variablepinL2-norm respectively. Here,handτare the subdivision parameter in space and time step respectively.

generalized nerve conduction equation; nonconforming mixed finite elements method; semi-discrete and fully-discrete schemes; superclose

2016-10-05

國家自然科學基金(11271340)和河南省科技計劃項目(162300410082)

張厚超(1980—),男,講師,主要從事有限元方法及應用的研究,E-mail:zhc0375@126.com

O242.21

A

1001-8395(2017)04-0464-09

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.006