基于紋理特征的自適應插值

張云峰 姚勛祥 包芳勛 張彩明

1(山東財經大學計算機科學與技術學院 濟南 250014)2(山東大學數學學院 濟南 250100)3 (山東大學計算機科學與技術學院 濟南 250100)

基于紋理特征的自適應插值

張云峰1姚勛祥1包芳勛2張彩明3

1(山東財經大學計算機科學與技術學院 濟南 250014)2(山東大學數學學院 濟南 250100)3(山東大學計算機科學與技術學院 濟南 250100)

(yfzhang@sdufe.edu.cn)

在傳統有理插值函數的基礎上構造出一種新的混合插值模型.該混合插值模型是有理函數與分形插值函數的有機整體，可由形狀參數和尺度因子唯一確定.由于分形是刻畫圖像復雜度的有效工具，引入分形維數描述紋理的復雜程度.首先，提出一種基于局部分形維數的自適應閾值選取的方法，將整幅圖像劃分為紋理區域和非紋理區域.在紋理區域采用有理分形函數插值，在非紋理區域采用有理函數插值.尤其在有理分形插值模型中，提出一種基于分形維數的精確計算尺度因子的方法.最后，通過優化形狀參數進一步提高插值圖像質量.實驗結果表明：提出的基于圖像特征的混合插值模型與當前經典算法相比，尤其是在處理紋理圖像方面，具有明顯優勢.

混合插值；局部分形維數；自適應閾值；參數優化；有理分形

圖像插值，或稱圖像放大，是指由低分辨率圖像獲取高分辨率的圖像，在本質上是通過已知像素估算出未知像素.圖像插值技術能夠在一定條件下保持豐富的紋理信息和銳利的邊緣.圖像插值技術在圖像處理領域起著重要的作用并且廣泛應用于各個領域，如航空航天、軍事、通信、遙感衛星、電視及電影制作等.諸多插值算法被廣泛地用于現實中，如最近鄰、雙線性、雙三次以及樣條插值[1-2]等.雖然這些傳統的插值算法比較有效，但是往往會產生邊界模糊、走樣等.

為了彌補傳統插值算法的不足，許多經典的插值算法被提出.文獻[3]首先從低分辨率圖像估計局部協方差系數，然后在高分辨率圖像中基于低分辨率和高分辨率協方差的幾何對偶性，利用估計出的協方差做自適應插值.這種基于協方差的插值方法具有較高的運算復雜度.在文獻[4]中，Hiroyuki等人提出泛化的核退化自適應插值算法，將非參數統計方法與核退化方法結合，提出泛化的方法用于圖像處理和重建.核退化的方法可以有效減少估計誤差，但這種方法往往也會產生邊界模糊和紋理錯亂現象.在文獻[5]中，Zhang等人提出基于線性均方差的圖像插值方法.對于每一個被插像素點，將其鄰域劃分為2個觀測子集，并從正交的2個方向估計缺失的像素.Zhang等人在文獻[6]中提出一種軟決策的插值技術，這種方法不是一次估計一個像素而是一次估計一組像素.此方法使用二維分段自回歸模型，能夠學習和適應不同結構.這種算法能很好地保持插值圖像的空間相關性，且具有良好的主觀視覺質量和圖像質量客觀評價值.以上2種方法均是采用非連續函數，這種方法常常產生斑點噪聲以及邊界錯亂.Dong等人[7]將非局部自回歸模型與稀疏表示相結合.傳統的稀疏表示未能包含丟失像素的結構信息導致其效果不理想，非局部自回歸模型可以有效降低樣本矩陣與稀疏表示字典的相關性，從而使得稀疏表示更加有效.雖然這種方法取得了較好的視覺效果，但是其算法時間復雜度較高.

近幾年，Jeong 等人[8]提出了一種基于局部方向自相似性的多幀圖像超分辨率算法.竇諾等人[9]提出一種基于圖像塊在訓練字典下稀疏表示的協同處理方法，用來解決含噪圖像超分辨的問題.在文獻[10]中，曹世翔等人提出一種映速有效的邊緣特征點提取方法，實現多分辨率圖像融合.Jha 等人[11]提出了一種新的圖像插值方法，該方法利用逆梯度和像素間的距離自適應獲取權值，以此估計未知像素.在文獻[12]中，Zhu等人提出一種基于非局部幾何自相似的插值算法，基于圖像塊梯度方向變化以及相似塊極小化獲取理想權重系數.在文獻[13]中，Zhang等人提出結合結構信息和稀疏表示的方法以提高基于稀疏表示方法的超分辨效果.然而以上方法在復雜紋理圖像的處理中效果并不理想，會產生紋理錯亂等現象.

如今，與理想核函數接近的有理函數作為一種新的方法用于圖像插值中.總的來說，采用有理函數重構出的圖像具有較好的視覺效果，無塊狀痕跡，模糊程度較低等.在文獻[14]中，Hu等人提出自適應切觸有理插值函數以保持邊界，這種函數是對理想核函數更精確的逼近.在文獻[15]中，Carrato 等人提出一種新的基于現實圖像合成的內插算法.有理算子提供邊緣敏感數據插值，以此減少人工痕跡的出現. 在文獻[16]中，Liu等人構建出基于權重的自適應插值函數，包含邊界信息的權重系數可由距離、梯度、采樣點的差商自適應計算得出.然而，有理函數在紋理細節保持等方面效果并不理想.由于分形是描述紋理的有效工具，基于分形分析的紋理描述子廣泛應用于紋理分割和分類[17-21].Xu等人[22]提出一種基于局部分形分析的單幅圖像超分辨增強算法.在文獻[23]中，將分形編碼看作是特征的相似性評價標準，通過搜索內部圖像塊和使用的低分辨率單一圖像的圖像相似融合重建高分辨率圖像信息塊，實現基于分形編碼的圖像超分辨率增強.在文獻[24]中，Zhai提出一種新的基于分形的PLC OFDM信號重建方法.由此，提出一種既可以保持紋理細節又能保持銳利邊界的算法是必要的.

為了解決上述問題，在先前有理函數[25-27]的研究基礎上，本文提出一種有理分形的混合插值模型.該模型將形狀參數包含于分形函數中，通過尺度因子和形狀參數可確定唯一的插值模型.給定不同的尺度因子的值，模型的表達形式隨之變化.根據圖像的特征信息，將圖像劃分為不同區域.區域劃分是依據分形特征的自適應閾值選取.對于不同的區域，我們采用不同的插值函數.最后，通過對表達式中參數的優化，進一步提高圖像的插值質量.本文算法的流程圖如圖1所示:

Fig. 1 Flowchart of mixing interpolation system圖1 混合插值系統算法流程圖

1 有理分形插值函數構造

有理分形插值函數是本文混合插值算法的基礎.在介紹經典雙變量插值函數的基礎上，本節提出的一種新的雙變量有理分形插值函數.

(1)

其中，0≤λ≤1，令φm(y):J→Jm為線性壓縮同胚，并且滿足：

(2)

其中，0≤μ<1，

(3)

且

令hi=xi+1-xi,lj=yj+1-yj,θ=(x-xi)hi,η=(y-yj)lj.對每一個數y=yj,j=1,2,…,M構造x方向的插值函數如下：

(4)

其中，

且

(5)

其中，

其中，

由此構造迭代函數系(IFS)

{I×J×R;(φi(x),φj(y),Fi,j(x,y,z))}.

(6)

記HN=xN-x1,LM=yM-y1,對[x1,xN;y1,yM]，θ=(x-x1)(xN-x1),η=(y-y1)(yM-y1),Bi,j(x,y)表達式如下：

(7)

其中，

且

其中，

(8)

且

其中，

且θ=(x-x1)(xN-x1),η=(y-y1)(yM-y1),Bi,j(x,y)滿足：Bi,j(x1,yM)=f1,1,Bi,j(xN,y1)=fN,1,Bi,j(x1,yM)=f1,M,Bi,j(xN,yM)=fN,M,Fi,j(x,y,z)=si,jz+Pi,j(φi(x),φj(y))-si,jBi,j(x,y),其中si,j為迭代函數系的尺度因子且|si,j|<1.

因此，上述定義的迭代函數系統存在唯一的吸引子G，且為連續函數記為ψ(x,y).式(6)中定義的有理分形插值函數(fractal interpolation function, FIF)稱之為雙變量有理分形插值函數(bivariate rational fractal interpolation function, BRFIF)，其表達式如下：

ψ(φi(x),φj(y))=si,jψ(x,y)+

P(φi(x),φj(y))-si,jBi,j(x,y).

(9)

2 插值算法

在本節我們將討論如何利用上述構造的模型由低分辨圖像獲取高分辨圖像：1)計算圖像的分形維數，以此作為劃分紋理區域與非紋理區域的依據;2)根據圖像局部特征，不同區域采用不同插值模型，在紋理區域采用有理分形插值函數，在非紋理區域采用有理函數插值;3)根據局部分形維數與全局分形維數的關系準確計算尺度因子;4)通過參數優化技術進一步提高圖像的插值質量.

2.1 基于分形維數的區域劃分

對于同時包含紋理區域和非紋理區域的復雜圖像，區域劃分是插值算法的關鍵步驟，區域劃分的精確與否將直接影響圖像的插值質量.在本文中，我們利用分形維數描述圖像的復雜性，并以此將圖像劃分為紋理區域和非紋理區域.閾值選取是區域劃分的關鍵，因此閾值選取的精確與否會直接影響區域的劃分.

2.1.1 分形維數

分形維數也被稱作全局分形維數，是分形理論中的重要內容.由于分形維數與人眼區分紋理粗糙度相一致，分形維數被視為描述紋理復雜性的有效工具.全局分形維數用來描述整幅圖像的復雜程度，而局部分形維數(local fractal dimension,LFD)用來描述圖像局部小塊的復雜性.“毯子覆蓋法”是一種被廣泛應用的計算分形維數的方法，其優勢在于可以覆蓋分形維數的取值范圍.接下來將介紹如何利用毯子覆蓋法計算全局分形維數和局部分形維數[28].圖像灰度曲面可看作灰度函數H(i,j),毯子的上下表面分別記作Tε,Bε.初始時，T0(i,j)=B0(i,j)=H(i,j).當ε=1,2,…,N，毯子的上下表面可定義為

(10)其中d(i,j;m,n)代表(i,j)與(m,n)兩點之間的距離，應用圖像處理中的膨脹和腐蝕技術，選擇尺寸大小為ε的結構元素，則不同尺度對應的表面積測度A(ε)為

(11)

其中，T為膨脹層面積，B為腐蝕層面積.此時圖像的表面積測度可記作：

A(ε)=kε2-D,

(12)其中A(ε)是尺度ε下的表面積.應用最小二乘法對雙lg-lg曲線擬合，可以計算出分形維數的數值如下：

D=2-k.

(13)

2.1.2 局部自適應閾值

Fig. 2 Regional division by different methods圖2 不同方法區域劃分對比

紋理區域最主要的特征是其灰度值變化劇烈，一個簡單的區分紋理的方法就是閾值選取.區域劃分的關鍵在于精確選擇閾值，因為閾值選取的正確與否將直接影響插值函數的選取，從而影響插值質量.如果閾值較小，會錯把非紋理區域視為紋理區域;相反，如果閾值較大，那么紋理區域將會被錯誤地認作是非紋理區域.

自動閾值選取是一種廣泛應用的方法，它根據公式利用圖像特征信息自適應計算閾值大小.自動閾值[29]計算為

(14)

其中，a=[3,5],x代表每個像素點的灰度值，n為像素點數.整幅圖像灰度值均值如下：

(15)

其中,a=5,x代表每個像素點的灰度值，median是指整幅圖像灰度中值.這種閾值選取的方法忽略了圖像自身的結構信息，同時單純依靠全局灰度值閾值選取的方法是不精確的.因此，我們提出一種可以描述紋理復雜性的基于分形維數的閾值選取方法.經過大量實驗，我們發現自然圖像局部分形維數的分布近似符合正態分布.正態分布，又稱高斯分布，是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力.若隨機變量x服從一個數學期望為μ、標準方差為σ2的高斯分布記為X～N(μ,σ2),則其概率密度函數為

(16)

高斯模型廣泛應用于圖像處理領域，利用高斯概率密度函數作為量化標準將整體分為部分通常是準確的.圖像紋理區域高斯模型的建立原理與過程：局部分形維數的直方圖反映圖像分形維數出現的次數，同樣也可以認為是其密度分布.如果紋理區域和非紋理區域存在差別，其局部分形維數直方圖會呈現出“鈴形”曲線形狀.因此整幅圖像就可以分為2部分：

(17)

利用“毯子覆蓋法”計算每一個5×5子塊的分形維數.按照式(16)，μ為局部分形維數的均值，即為選取的劃分紋理區域與非紋理區域的閾值.在本文的插值算法中，通過計算每一子塊的分形維數，如果其值大于μ，被認為是紋理區域，否則為非紋理區域.圖2為自動閾值方法和本文閾值選取方法的對比效果圖.圖3是包含紋理與非紋理區域的實驗圖像.局部分形維數的范圍為2.0～3.0.為了證明此方法的有效性，圖4是其對應的概率密度函數，圖5為通過閾值二值化測試圖像的結果.

Fig. 3 Images used for discriminating textures圖3 區分紋理區域實驗圖

Fig. 4 Density function of LFD of images圖4 局部分形維數密度函數

Fig. 5 Results of edge detection圖5 邊界檢測結果圖

2.2 自適應插值算法

本文的插值模型為混合插值模型，利用其表達式的多樣性分別對紋理區域和非紋理區域處理.根據子塊的區域特征，其形狀參數可以做調整以更符合圖像的結構特征.通過以上步驟，整幅圖像被分成紋理區域與非紋理區域.在非紋理區域，插值函數為雙變量有理插值；在紋理區域，插值函數為有理分形插值.

2.2.1 紋理區域插值

對于紋理區域，其插值模型表達形式如下:

ψ(φi(x),φj(y))=si,jψ(x,y)+

P(φi(x),φj(y))-si,jBi,j(x,y),

(18)

其中α,β為待優化的形狀參數.本文2.4節將討論形狀參數的優化，除此之外，公式中還包含尺度因子si,j的待確定參數.

2.2.2 非紋理區域插值

對于非紋理區域，其插值函數的表達式為

(19)

其中，

2.3 基于分形維數的尺度因子計算

顯然，隨機選取尺度因子對圖像插值來說是不精確的.針對現實情況，通過已知信息準確計算尺度因子具有重要實踐意義.隨著尺度因子精確性的提高，本文的插值函數就更接近理想核函數.一般來說，尺度因子通常作為自由參數，或者給出其變化范圍[30-31].由于分形維數與尺度因子密切相關，本文中通過分形維數精確計算尺度因子，其表達式如下：

(20)

其中,FD是全局分形維數，N為平面的拓撲維數，N=2.考慮到尺度因子si,j對插值函數的影響，我們控制其他形狀參數不變.如圖6所示，插值曲面形狀受尺度因子影響較大.尺度因子的變化越小(si,j→0)，構造的插值函數變化也越小.針對圖像，圖7給出PSNR隨著尺度因子變化情況，當尺度因子在[0,0.3]變化時，峰值信噪比(PSNR)取得最大值.因此，精確計算尺度因子可以有效提高插值質量.實驗也剛好證明了我們方法的正確性.

Fig. 6 Comparison of interpolation with different scaling factor圖6 不同尺度因子下插值曲面和圖像對比

Fig. 7 PSNR changes with scaling factor圖7 PSNR隨尺度因子變化

2.4 形狀參數優化

文獻中常用的一種簡單的刻畫插值的精確性方法是比較插值圖像與原圖之間的差異.主要是通過計算峰值信噪比(PSNR)，其定義如下：

(21)

其中，MSE是原圖像與插值圖像之間的均方誤差， 為圖像中灰度的最大值，8位圖像的最大值為255.將含有α,β的式(19)帶入到式(21)中，記為U(α,β).通過極小化U(α,β) 可以獲得局部最優的α,β值，表達式如下：

Fig. 8 PSNR changes with shape parameters圖8 PSNR隨形狀參數變化情況

(22)

很顯然，采用此種方法獲取最優化形狀參數具有較高的時間復雜度.下面給出數值化優化參數的算法步驟.

算法1. 參數優化算法.

輸入：參數取值范圍；

輸出：PSNR取最大值時參數取值.

① 對于參數取值范圍{(α,β)|0≤α≤10,0≤β≤20}， 分別計算每一對(α,β)的PSNR值;

② 假定PSNR>T為目標值，選取此時(α,β)的取值范圍;

③ 固定α的值，選取此時PSNR最大時β的取值;

④ 固定β的值，選取此時PSNR最大時α的取值;

⑤ 獲取參數的最優化值.

對于給定的插值函數，插值質量可以通過調節參數進一步提高，本文是以PSNR作為目標函數，從而獲得最優的參數取值.

如圖8(a)所示，PSNR隨著參數變化而發生變化.當α∈[4,5],β∈[14,16] 時，PSNR取得最大值.在圖8(c)中，當α取定值、β∈[13,15]時，PSNR達到峰值；當β取定值、α∈[3,5] 時，PSNR達到峰值.其交集即為α,β的最優取值.

3 實驗結果與分析

如第2節所述，通過分形特征分析，區分出圖像的紋理區域和非紋理區域.紋理區域和非紋理區域可以選擇同一個插值模型的不同參數來處理.在紋理區域，需要對參數自適應優化處理，進一步提高插值圖像質量.

我們選取了7幅圖像作為測試圖像，如圖9所示.測試圖像的尺寸均為512×512.比較算法均為近年經常被引用的且多次比較過的算法:NEDI[3]， DFDF[5]，SAI[6]，NARM[7].

Fig. 9 Images used for quantitative comparison圖9 對比實驗圖像

我們把高分辨率圖像下采樣獲得低分辨率圖像，采樣方法為直接下采樣.峰值信噪比(PSNR)是對圖像平均的質量評價，而基于結構相似性(SSIM)的質量評價是一種視覺感知的評價，這2種方法廣泛應用于圖像質量評價中.表1給出采用不同方法把低分辨率圖像重建為高分辨圖像的PSNR和SSIM值.從數據上可以看出，本文算法的平均PSNR和SSIM值是最高的.通過數值對比發現，本文算法數值上優于對比算法.

此外，我們進一步探究區域劃分時不同閾值對插值效果的影響.如圖10所示，當閾值T分別取2.1,2.3,2.4時，圖10(a)(b)(c)為對應的區域劃分的效果圖.由圖10所示，不同的閾值對區域劃分有較大的影響.圖11為采用圖10對應閾值插值后的圖像，其對應的PSNR依次減小，可見區域劃分的精確性會對插值圖像產生一定影響.

Table 1 The PSNR and SSIM Comparison of Different Algorithms

PSNR和SSIM是僅從數值上對二者之間的誤差加以比較，同時也應當考慮到視覺效果.圖12～19為測試圖片視覺效果對比.在圖12～16中，本文算法的插值效果圖像明顯增強，圖像對比度有所提高.在圖13中，所有比較算法均發生了紋理走樣，而本文算法較其他算法走樣較小，在下巴處圍巾的處理效果明顯好于其他算法.在圖19中，NEDI和SAI在圍欄處出現了噪點和變形,NARM在圍欄處也有輕微噪點.本文算法與NARM視覺效果難分伯仲，但本文算法客觀質量評價數值要好.圖20～21為局部圖像對比，放大之后的圍欄處對比更加明顯.針對紋理圖像，如圖21所示，本文算法無論是在客觀數據上還是視覺質量上均取得一定優勢.同時本方法也有一定的局限性，由于沒有引入紋理的方向信息，在紋理方向的保持上稍顯不足(如Barbara褲腿處).這也是我們下一步的工作計劃.綜上所述，標準測試圖像的實驗表明，本文算法與4種經典算法相比優勢明顯，尤其是包含紋理區域的高頻部分.

Fig. 10 Edge detection by different threshold圖10 不同閾值下區域檢測效果圖

Fig. 11 Interpolated images by different PSNR圖11 不同峰值信噪比下插值效果圖

Fig. 12 Results of “Brick”圖12 Brick實驗結果

Fig. 13 Results of “Barbara”圖13 Barbara實驗結果

Fig. 14 Results of “Rail”圖14 Rail實驗結果

Fig. 15 Results of “Dollar”圖15 Dollar實驗結果

Fig. 16 Results of “Lena”圖16 Lena實驗結果

Fig. 17 Results of “Truck”圖17 Truck實驗結果

Fig. 18 Results of “Xxal”圖18 Xxal實驗結果

Fig. 19 Results of “Cliff”圖19 Cliff實驗結果

Fig. 20 Regional results of “Rail”圖20 Rail局部實驗結果

Fig. 21 Regional results of “Xxal”圖21 Xxal局部實驗結果

4 結 論

本文基于圖像局部分形維數特征分析提出一種混合插值算法.在傳統有理函數插值的基礎上，我們提出一種新的有理分形函數插值模型.模型中包含尺度因子和形狀參數作為可調參數，通過插值點的結構信息調節參數，使得模型靈活性更高、精確性更好.在本文的插值算法中，首先通過計算局部分形維數，自適應地選取閾值對紋理區域和非紋理區域劃分.分區域采用不同的插值函數進行插值.在有理插值模型中包含尺度因子，本文提出一種通過尺度因子與維數的關系精確計算尺度因子的方法.為了進一步提高圖像的插值質量，我們通過極大化PSNR值對參數優化.實驗結果表明：本文算法與其他5種經典插值算法相比優勢明顯，尤其在遙感圖像和復雜紋理圖像方面.

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[31]Viswanathan P, Chand A K B, Navascués M. Fractal perturbation preserving fundamental shapes: Bounds on the scale factors [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, 419(2): 804-817Zhang Yunfeng, born in 1977. PhD, professor in Shandong University of Finance and Economics. His main research interests include computer aided geometric design, digital image processing, computa-tional geometry, function approximation.

Yao Xunxiang, born in 1988. Master in Shandong University of Finance and Economics. His main research interests include imagevideo processing, fractal interpolation.

Bao Fangxun, born in 1968. PhD, professor of Shandong University. His main research interests include function approximation, computation geometry, computer aided geometric design and compute.

Zhang Caiming, born in 1955. PhD, professor and PhD supervisor in Shandong University. His main research interests include CAGD, CG, information visualiza-tion and medical image processing.

《信息安全研究》期刊簡介

習近平總書記指出“沒有網絡安全就沒有國家安全，沒有信息化就沒有現代化”.數字時代信息安全工具的大眾化是不可阻擋的歷史潮流.大眾化的信息安全已經直接影響到我們每個人的利益，信息安全已成為國家、地方區域經濟結構優化提升和轉型發展的新機遇.在信息安全上升為國家戰略、行業迎來嶄新發展機遇形勢下，《信息安全研究》期刊應時代而生.

《信息安全研究》是由國家發改委主管、國家信息中心主辦的中文學術期刊，其宗旨是集中展示和報道國際、國內網絡和信息安全研究領域研究成果及最新應用，傳播信息安全基礎理論和技術策略，服務國家信息安全形勢發展需要.所刊登的論文均經過專家嚴格評審.

《信息安全研究》于2015年10月創刊發行.刊期為月刊，每期96頁，由《信息安全研究》雜志社出版，國內外公開發行.

《信息安全研究》將以研究致以應用，搭建信息安全領域的學術交流平臺，愿意和同行業及社會各界建立聯系，友好合作，共贏美好未來.歡迎大家積極投稿、賜稿，洽談合作.

投稿信箱：ris@cei.gov.cn

編輯部聯系人：崔先生(185 0008 6481) 馬先生(158 1058 2450)

Adaptive Interpolation Scheme Based on Texture Features

Zhang Yunfeng1, Yao Xunxiang1, Bao Fangxun2, and Zhang Caiming3

1(SchoolofComputerScience&Technology,ShandongUniversityofFinanceandEconomics,Jinan250014)2(SchoolofMathematics,ShandongUniversity,Jinan250100)3(SchoolofComputerScience&Technology,ShandongUniversity,Jinan250100)

A new interpolation model is proposed based on the bivariate rational interpolation. This model contains rational fractal interpolation and bivariate rational interpolation, which is identified uniquely by the values of iterated function system parameters (scaling factor and shape parameters). Due to efficient capacity of fractal in description of complex phenomenon, the fractal dimension is employed to texture analysis. Based on the analysis of local fractal dimension (LFD), a new local adaptive threshold method is proposed. And then images can be divided into texture region and non-texture region. As for texture regions, rational fractal interpolation is used to get high resolution images. Similarly, rational interpolation is used in non-texture region. Considering the parameters in rational fractal interpolation model, we propose a new method for calculating the scaling factor. Further, in order to improve the quality of interpolated image, shape parameters optimization technique is applied. Experimental results show that the presented model achieves very competitive performance with the state-of-the-art interpolation algorithms.

mixing interpolant; local fractal dimension; adaptive threshold; parameters optimizing; rational fractal

2016-07-13；

2016-12-09

國家自然科學基金項目(61373080,61672018,61402261,61373088,61272431,61332015)；山東省高等學校優勢學科人才團隊培育計劃 This work was supported by the National Natural Science Foundation of China (61373080, 61672018, 61402261, 61373088, 61272431, 61332015) and Fostering Project of Dominant Discipline and Talent Team of Shandong Province Higher Education Institutions.

包芳勛(fxbao@sdu.edu.cn)

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