Delta動態對沖策略的模擬檢驗及實證研究

謝博文 遼寧大學經濟學院

Delta動態對沖策略的模擬檢驗及實證研究

謝博文 遼寧大學經濟學院

本文運用Excel及加載宏Crystal Ball軟件進行蒙特卡洛模擬，對普通時點對沖，Leland策略，固定區間對沖和Whalley-Wilmott策略進行比較分析，得出Leland策略優于普通時點，Whalley-Wilmott策略優于固定區間對沖的結論，并進一步研究了Whalley-Wilmott策略有效容忍區間的選擇。最后使用招行股票進行實證分析。

蒙特卡羅模擬 delta對沖 策略比較 Whalley-Wilmott策略容忍區間

一、前言

作為風險管理的工具，delta對沖廣泛運用于投資基金的組合管理。delta是衍生品價格C相對于標的資產價格S的變化率，描述的是兩者價格關系的斜率，公式表示為：

delta對沖就是通過資產組合的構建，使整個組合的各個部分的delta相互抵消，達到delta中性狀態，也就是整個組合的delta為0，從而達到對沖保值的效果。下面說明其原理。

設S為股票價格，C為歐式看漲期權價格。假設S滿足幾何布朗運動，則

上面兩式的離散形式為

ΔC 和ΔS 是在短時間Δt內的變化量。

構建一個資產組合：一個單位的歐式看漲期權的空頭頭寸和x單位的股票多頭頭寸。

該資產組合的價值

將（1）和（2）代入到（3）中，整理得

隨著時間的變化，股票價格S會不斷變化，看漲期權C的delta也會不斷發生變化，所以要不斷改變該資產組合中的股票數量，稱為再平衡過程。這就是delta動態對沖的基本原理。對沖該看漲期權空頭的策略可以看做以股票交易的形式來構造看漲期權的多頭。

二、delta對沖策略的種類

delta對沖的實際效果是由標的資產價格的變動路徑和再平衡的調整頻率決定的。標的資產價格和時間的變化都會改變delta，所以在實踐中，根據采用的delta策略的不同，要按照相關策略的標準，進行再平衡調整。主要策略有兩類，固定時點和固定區間。

（一）固定時點對沖

固定時點對沖是指，首先確定好時間間隔，在每個時段末，進行交易，以保證資產組合整體delta為0。1985年，由Leland首次提出考慮比例交易成本的對沖模型，通過對波動率的修正改善對沖效果。調整后的波動率為

（k為比例交易成本的系數）使期權價格的增加與再平衡調整過程帶來的交易成本相互抵消，進一步修正了B-S模型。

我們將基于B-S模型的策略稱為普通時點策略，基于LELAND調整的策略稱為leland策略。

（二）固定區間對沖

固定區間對沖是指，我們先計算資產組合的delta值，然后確定一個能容忍的delta變動的固定區間。資產組合的delta值變動時，只要變動值不超出，我們就不進行任何操作，一旦超出區間范圍了，則進行調整。調整的方式有兩種：第一種是調整至delta中性狀態，即資產組合delta為0；第二種是將delta調整至容忍區間的邊界，使delta值重新回到容忍區間，即[-d,+d]范圍內。對于第二種策略，1997年，Whalley和Wilmott得到了delta對沖的無交易區間，其邊界的表達式為

我們將第一種稱為固定區間對沖，第二種稱為Whalley-Wilmott策略。

三、Delta對沖的蒙特卡羅模擬檢驗

使用幾何布朗運動的離散時間模型模擬股票價格變動過程，對四種策略進行模擬檢驗，模擬次數為10000次，每個價格變動路徑包括90個時點的數據。分析方法運用經典的均值方差分析，計算每種策略的對沖成本期望值和標準差。

假設某金融機構賣出一份10000股無股息股票的歐式看漲期權。股票當前價格為49，收益率期望為13%，波動率為年20%，比例交易費用為0.005，無風險利率為年5%，期權執行價格為50，期權期限為90天，行權時按現金結算方式。現在對沖其看漲期權空頭的風險，即運用delte對沖的原理合成看漲期權。

（一）四種策略的模擬結果

策略 期望 標準差普通時點對沖 26740.77 3464.28 LELAND模型 25629.13 2138.20區間對沖 25004.02 3450.83 W-W策略 22819.43 3042.99不采取任何策略 22901.79 33014.53

普通時點對沖和LELAND策略的對沖頻率為每日一次。區間對沖和Whalley-Wilmott策略的容忍區間取為0.04，我們直觀感覺為，容忍區間不應該太小，再平衡調整太頻繁，交易成本大；太大，風險又過大，將于下一小節說明容忍區間的有效取值。

我們可以看到，不采取任何對沖策略時，成本的期望值很小，但是其標準差極大。評判策略是否更優，就是指在相同的標準差下，期望值更小，或者在相同的期望值下，標準差更小。所以從表可知，最優策略為LELAND和W-W策略。

（二）Whalley-Wilmott對沖策略的有效容忍區間的研究

我們知道歐式看漲期權的delta大于0小于1，而容忍區間大小的選取一旦超過MAX(初始delta,1-初始delta)后，delta的變動就不可能超過該區間，不會再有交易了，所以其上限為MAX（初始delta,1-初始delta）。

波動率為0.2時，初始delta為0.4892，所以區間上限0.5108。使用crystal ball的決策表功能，將區間大小設為決策變量，最小值為0，最大值為0.52，間隔為0.01。另外為了更清晰的觀察較小區間增加后的實際效果，又計算了區間取0.001和0.005的點。所得部分數據的表格和全體數據的散點圖如下：

圖中紅點為LELAND策略的數據點，從圖中可以得知，隨著區間選取的增加，期望值不斷減小，而方差先減小后增大。由圖可得，本例有效區間的上限為0.52，實際應為MAX（初始delta,1-初始delta），下限為0.03，實際應為曲線最低點的所代表的區間大小。我們發現一個有趣的現象，在區間小于曲線最低點時，區間越大，即再平衡調整的次數越少時，其標準差卻越小,這與我們的直觀感受不同。但仔細分析，可以發現，本文考慮了交易費用，而且每次再平衡調整時股票價格不同，一般都是高買低賣，另外，股票價格的波動率不高，較小的區間，帶來更為頻繁的調整，使再平衡調整的穩定性作用降低了，所以出現了上圖的現象。我們可以將波動率增至0.5和1時，再次進行觀察。

波動率為0.5時，初始delta為0.5375，所以區間上限0.5375。使用crystal ball的決策表功能，將區間大小設為決策變量，最小值為0，最大值為0.54，間隔為0.01。另外為了更清晰地觀察較小區間增加后的實際效果，又計算了區間取0.001和0.005的點。所得部分數據地表格和全體數據的散點圖如下：

波動率為1時，初始delta為0.5927，所以區間上限0.5927。使用crystal ball的決策表功能，將區間大小設為決策變量，最小值為0，最大值為0.60，間隔為0.01。另外為了更清晰地觀察較小區間增加后的實際效果，又計算了區間取0.001和0.005的點。所得部分數據的表格和全體數據的散點圖如下：

區間大小 期望值 標準差0 105081.10 9444.68 0.01 103695.40 9741.01 0.02 102693.40 10460.85 0.03 102163.00 11580.13 0.04 101539.70 12851.53 0.05 101367.30 14392.18 0.10 99886.45 22452.37 0.20 98850.62 40735.21 0.30 98543.25 59679.36 0.40 98300.24 73692.60 0.50 98530.86 76559.17 0.60 97807.03 77863.83 leland 104922.90 9359.40

果然，波動率為0.5和1時，不再出現隨著容忍區間的增加，標準差反而減小的現象。但是從上面三個圖表可以看出，波動率增大后，大區間的數值點越來越發散，這是因為大區間的再平衡調整極少，而本文假設的期權期限又只有90天，模擬次數只有10000次，就會出現有的區間進行模擬時，出現需要調整的路徑多，有的少，造成發散現象。但隨著區間的增大，期望值減小，標準差增加的趨勢還是很容易看出的。

由圖可得，波動率較大時，有效區間上限為MAX（初始delta,1-初始delta），下限為LELAND調整點。波動率為1時的LELAND點由于數值較為接近區間點，所以圖中不能明顯看出，但從數值表也可以看出。

當然，實際根據風險偏好選擇最優區間時，我們不會選擇很大的區間，圖中也可看出此時曲線近似垂直了（此時選擇更大的區間，期望減少得很慢，而方差增加得很快），波動率較大時，區間選擇也不會偏好靠近LELAND策略點的那一段（此時選擇更小的區間，方差減小得很慢，而期望增加得很快）。由于本文只考慮主要的這四種策略的優劣，所以W-W策略有效容忍區間的選擇只有與LELAND策略的聯動分析。

四、實證分析

國內A股市場上的一些規模很大的公司，如招行，中石油，貴州茅臺等，流通股本大，交易活躍，價格波動平穩，滿足delta對沖策略交易的要求。所以本文選取招商銀行這一在我國證券市場上具有代表性的大盤股進行delta對沖策略的實證分析。

實證部分數據使用的是招行股票2016年4月29日至2017年4月29日的一年期數據。無風險利率選取2016年4月29日的一年期SHIBOR，為3.0420%，股票價格波動率使用歷史波動率，計算可得，為14.84%，比例交易成本為0.005。假設在2016年4月29日，某金融機構賣出一份10000股招行股票的歐式看漲期權，股票初始價格為17.75，執行價格為18，期限為1年。我們使用delta對沖策略合成該看漲期權多頭來對沖風險。

實際delta對沖后的結果如下：

對沖策略 對沖成本普通時點 12915.78 LELAND策略 12745.52區間對沖 C=0.04 12309.05 W-W策略 C=0.04 11894.11 W-W策略 C=0.1 9689.30 W-W策略 C=0.2 6944.04不采取任何策略 11300.00

由于使用實際數據進行分析，所以只能體現出最終對沖成本的大小，風險大小無法直接觀察到。因為股票最終價格為19.13，期權執行價格為18，所以不采取任何對沖策略時，金融機構的成本為11300。從本例可以看出，W-W策略的容忍區間越大，對沖成本越低，但實際上其標準差也會大很多，這在上一章的分析中已有所體現。這說明，由于交易費用的存在，當股票價格大致符合維納過程時，再平衡調整頻率的增加會使成本增大。實證結果基本符合上一章的分析。

五、結論

delta對沖策略是可行的，并且LELAND策略優于普通時點，W-W策略優于固定區間策略。W-W策略的區間越大，對沖成本越小，對沖風險越大，但是存在一個有效地區間，便于金融機構在不同的風險偏好下，選擇合適的區間，另外，波動率的大小使容忍區間下限的選擇也有所不同。

[1](加)赫爾著,（加）王勇,索吾林譯.期權、期貨及其他衍生產品[M].機械工業出版社,2016,1

[2]張程.期權動態風險對沖實證分析[J].現代管理科學，2010,第3期

[3]鄒小芃.動態套期保值策略的模擬檢驗及在我國的應用[D].浙江大學，2002

[4]Leland, H., 1985, Option Pricing and Replication With Transaction Costs, Journal of Finance 40: 1283-1302

[5]Bill Dalton,2008,Financial Products-An Intruduction using Mathematics and Excel,Cambridge University Press

[6]Whalley, A. E. and Wilmott, P., 1997, An Asymptotic Analysis Of An Optimal Hedging Model For Option Pricing With Transaction Costs.Mathematical Finance,Vol.7,No.3