“比的定義”的解讀、思考與啟示

呂強

【摘要】本文從審慎研讀、多向對比，明確外延、精準釋疑和拓展概念、消除歧義三方面論述“比”的概念，指出了生活中常用的“比”只歸屬第一種外延，即同量數求比的情況。

【關鍵詞】比的定義 解讀與思考 生活經驗 對比 反思

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07A-0070-01

在生活體驗中，“比是同一種數集的算術劃分”的觀念深入人心，這與數學上對“比”的定義有出入。在感知經驗和認知觀念相悖的情形下，教師對教材的解讀以及針對教材內容拓展的教學實踐普遍感到困惑。筆者也發現部分老師對“比的定義”有些偏頗：路程和時間的比不是同類量求比，那么算數學范疇內的一個“比”嗎？若是，比的定義里并沒有“單位”這個定義項，路程/時間的單位是km/h或者m/s。比值的大小是唯一的，但是卻可以因為采用的單位不同而用不同的數值表示（如1km/h=m/s，1m/s=3.6km/h）；競技對抗比賽的比分是一個數學比嗎？若是，那么比的后項可以為0，顯然違背了除數不能是0的公理；不同類量求比，能否賦予數學意義和價值？這些圍繞“比的定義”產生的疑慮，值得教師鉆研和反思。

一、審慎研讀，多向對比

1.教材對比——不同版本教材對比定義的異同對比。人教版是“兩數相除又叫做兩數的比”；蘇教版是“兩個數的比表示兩個數相除”；而北師大版定義為“兩數相除，又叫做兩個數的比”。比較這三種版本的教材，我們不難發現，“兩數相除”是內涵精義。其外延囊括了同類量求比和不同類量求比兩種情況。

2.論述對比——數學論述上，到底怎樣定義“比”呢？一些數學權威專著對比的定義大同小異，除了個別語詞有細微差別，結構含義基本相同。追根溯源，“比”早期只有狹義定義即是同量數之比，表示若干個同量數之間的相除關系。隨著歷史演進和比的語義的不斷豐富，慢慢出現了不同類量的比的情況。綜合兩種情況，比才有了相對廣義的定義：“兩個數相除又叫做兩個數的比。”由此可見，非同類量的兩個數相除，也能構成比。有的文獻明確指出：“比是兩個數量的對應關系的聯合直觀反映，根據情境的不同，對應關系主要有四類：一是組合關系，兩個量按一定倍數關系組合成有機整體，如1個茶壺和3個茶杯組成一套茶具；二是從屬關系，一個量屬于另一個量，如30個患者中有5個患的是禽流感；三是兌換關系，兩個量按一定價值比進行等價兌換，比如匯率；四是濃度關系，根據概念定義項的認知度要高于被定義項的規則，用兩個已熟知的不同類的具體量的倍數關系來反映和描述同一種物體的另一個抽象量。”

3.跨域對比——在自然學科中，還有類似于密度、壓強等概念。把物質的質量和其體積的比值定義為密度，用力與面積的比值定義為壓強，這些都是不同類量相除的形式。

二、明確外延，精準釋疑

綜上所述，可以明確數學中“比的定義”的外延應包括兩個子集，即同類量和不同類量的兩數相除的形式。也就是說，路程和時間的比確鑿無疑是一個“比”，那么如何解釋單位名稱和值不唯一呢？我們可以這樣理解：路程除以時間的商有單位，這個單位是由前兩個量的單位共同作用決定產生的，這與“比值”沒有關系；路程單位的多樣化與時間單位的多樣化直接導致速度單位的多樣化。如：1km∶1h=1km/h=m/s，1m∶1s=1m/s=3.6km/h。如果考究其意義，那么嚴格來說速度是一個數值比與單位比的組合體，即1∶1=1；km∶h=km/h，組合起來為1km/h。這種組合體與另一種組合體兌換時，也有一定的“比例”，即1km/h=m/s，1m/s=3.6km/h。數學和生活密切相關，但是數學的嚴謹與生活的形象并非一一照應，數學概念的表述必須符合嚴肅性、學術性，生活經驗的表述更多趨向于感性形象，應該嚴格加以區分。把球賽比分4∶0看成數學比，是將生活表達和學術表達混為一談，但從“兩數相除叫做兩個數的比”這個概念出發，4÷0毫無意義。因此，4∶0不是數學比，僅僅是比分書寫的一種形式，它的意義更多地在于表現“差值”而不是“商值”。

三、拓展概念，消除歧義

數學領域中的許多概念與生活表述不完全一致，教師該如何正確看待這個特殊現象呢？數學概念的定義是以多種生活經驗為感性材料，抽象概括而成的，具有普遍意義。

例如，“角”的數學定義是：“有共同端點的兩條射線組成的圖形叫角。”角的度數可以大于360°，也可以小于0°。這與人們“角的度數不大于180°也不能是負數”的經驗感知不一致。這時教師不能否定和推翻教材中角的定義，而是要豐富和完善角的定義方式，在一個平面坐標軸中重新拓展角的概念外延。

總之，當生活感知和數學感知悖逆時，教師應引導學生加深對數學概念的理解，理性區別生活經驗和數學概念。

（責編 林 劍）endprint