《兩位數乘兩位數》磨課過程與思考

許鏑

【摘要】本文從《兩位數乘兩位數》的磨課過程展開論述，通過設計有思維含量的數學活動激活學生的思維動機，讓學生在潛移默化中、在實踐操作中感悟思維的靈動，培養學生歸納、推理、概括的能力。

【關鍵詞】《兩位數乘兩位數》小學數學 磨課體會

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07A-0062-03

筆者試教人教版數學三年級下冊《兩位數乘兩位數》一課時，大致的框架就是在情境引導下，用點子圖探究14×12的算理，然后逐步呈現豎式的計算過程，進一步溝通算理與算法之間的聯系。

具體來說就是開課先通過口算練習，回顧一位數乘法的計算方法，激活學生原有的認知結構，為學習新知識，并把新知識轉化為用舊知識解決問題提供基礎。然后利用點子圖這種溝通算理和算法的橋梁，把直觀的算理轉化得到抽象的算法，在這個過程中讓學生自主探究兩位數乘兩位數的筆算方法，明晰豎式計算中每一步表示的意義以及積的位置，幫助學生溝通算理與算法的聯系，感悟“轉化”的數學思想方法，以及解決問題算法多樣化。

《兩位數乘兩位數》一課的重點——解決算理其實就是三個核心問題：計算14×12，需要幾步計算；每一步分別怎么算；用十位上的數去乘，積的末尾為什么要對齊十位？解決這些問題，實際就是在運用“先分后合”“拆分求積”“轉化”的方法，把分步計算和綜合豎式計算結合起來。依托具體的情境，讓學生結合口算和點子圖歸納豎式計算的算法。

教研員斯老師看過這節課的錄像后，馬上指出了不少問題：首先，點子圖的使用沒有尊重學生的知識起始點。一上課就發給學生點子圖，這是強烈暗示學生，這節課就是要使用點子圖來解決問題。然而現實情況是，有些學生是有基礎的，他們并不需要借助點子圖去解決問題。教師要尊重學生的現實起點，并根據現實起點進行教學。其次，要把點子圖作為學生學習新知識的腳手架，當學生計算有困難時，就作為計算的工具使用。當學生需要掌握算法時，作為溝通算理與算法的工具為學生提供幾何直觀。這節課沒有根據學生的學習需求，體現不出教學對象的分層。第三，溝通點子圖與豎式的聯系不夠細致，應該讓學生通過多種感官去感受算理與算法之間的聯系，這樣學生才能深刻地理解豎式的計算步驟的含義。

針對這些問題，筆者對教案進行了修改，然后開始試教。口算、情境的引出到列式計算14×12一切都很順利，但在探究14×12的算理時，學習有困難的學生求助老師拿到了點子圖，然而他們卻不知道如何使用這個工具。在之前的授課中，我們通過播放課件演示，引導他們使用點子圖去計算。此時沒有了課件演示和老師的引導，這些學生就無法把點子圖和具體的情境結合起來，這個點子圖作為學習的工具就無法體現出實際的作用。無奈之下，只能一個一個地引導學生，通過點撥，學生很快明白用意。

學生經過自主探究得出了3種情況：第一種用點子圖把12套書分成了10套和2套兩部分，分別計算10套本數和2套本數，再合起來。第二種用點子圖把12套書分成了2個6套，計算6套本數之后再算12套。第三種用口算算式表示12÷2=6，6×14=84，84+84=168。教學在反復溝通了口算和點子圖之間的聯系后，筆者讓學生給算法做優化選擇并感受算法多樣化，但總體感受不深。因為這里能呈現的樣本就是只有把12套書分成10套和2套及分成6套和6套這2種。在試教過程中讓筆者意想不到的是，18個學生中沒有一個會用豎式來計算，這真正體現了學生樸質的知識基礎。如果沒有超前學習，豎式這種高度總結概括出來的方法，光憑短暫的思考、探究是無法創造出來的。出于尊重學生的知識起點，筆者布置學生通過看書自學豎式的格式及算法。自學之后，引導學生把口算算式、點子圖和豎式的每一步溝通聯系起來，給學生建立了算理與算法的直觀模型，完成了此次試教。

評課時，斯老師給出建議：下發給學生的點子圖，要有適當的引導語，引導學生快速地用圖解決計算題。展示計算方法的時候，要對圖做出適當的解釋。因為沒有使用點子圖的學生，對這個工具是陌生的，教師應適當地引導，讓全班學生了解點子圖的用法，從而進一步加深學生對算理的理解。最后，斯老師還建議去掉介紹數學文化這個環節，因為剛學習如何筆算兩位數乘兩位數，在計算技能還沒有成熟時播放一個帶有其他計算方法的視頻，會干擾學生剛剛形成的知識模型，延長計算技能形成的時間。明白了這兩點，下次改課就有了新的方向。

第二次試教，筆者把口算引入的環節去掉了，因為學生對兩位數乘整十數和兩位數乘一位數的計算方法是清楚的。所以直接出示情境，讓學生根據情境信息提出問題。然后直接把問題拋給學生：一共多少本書？怎么解決這個問題呢？讓有想法、有辦法的學生直接在白紙上嘗試寫下來，而學習有困難的學生則可以舉手，老師提供學習建議紙（點子圖）。這樣放手之后，學生果然出現了多種情況。比如口算的14×10=140，14×2=28，140+28=168；點子圖的12×7=84，84+84=168；14×6=84，84+84=168；14×7=98，14×5=70，70+98=168；還有的學生運用豎式計算。

展示交流階段，按從口算到點子圖的呈現順序，幫助學生厘清點子圖與口算之間的聯系，然后呈現算法多樣化，最后呈現運用豎式的方法。把點子圖與豎式、口算三者之間的聯系進行梳理，隨后展開豎式算法的教學，之后播放微課，再次加深學生對豎式算法與算理之間的聯系。

課后，聽課老師進行了點評：在學生自主探究后，可以平行呈現口算、點子圖和豎式計算，讓學生自主發現他們之間的聯系，同時溝通三者之間的聯系。教學完豎式算法之后，再呈現其他算法，這樣可以讓學生明白這節課的主要學習內容，了解解決問題方法的多樣化。同時讓學生感受“轉化遷移”的思想方法，把新知識轉化成舊知識來解決，還可以遷移到新知識中去運用。

筆者把老師的建議進行了梳理整合。在最后一次教學上，筆者是這樣教學的：創設情境之后，讓學生獲取信息，再提出問題列式14×12，為了解決14×12，學生要選擇適合自己的學習方式進行探究。筆者給學生提供兩張學習卡研究解決問題，一張挑戰卡（直接發在學生手上），另一張探秘卡（放在信封中）。學生可以選擇用挑戰卡，借助自己已有知識進行探究，也就是用口算或豎式完成；學生也可以用探秘卡，借助探秘卡點子圖上的提示和建議，進行圈畫點子圖。endprint

學生出現了很多種算法，比如：

于是筆者先呈現口算的方式，讓學生介紹思路之后，再讓用點子圖思考的學生去聯系口算的算法，這樣就讓口算的思路獲得了一個形象具體的算理支撐。緊接著呈現了其他算法和與之配套的點子圖，引導學生發現，這些方法都是運用了先分后合和轉化的數學思想，把沒有學過的知識轉化為學過的知識去計算；歸納思想方法之后，告訴學生還有用豎式解決的方法，并讓其他沒有用豎式計算的學生參考口算、點子圖的思路嘗試用豎式來計算14×12。這樣，不少學生在點子圖、口算的思路啟發下，也能列出豎式。緊接著，筆者讓學生介紹豎式的步驟，并讓另外兩個學生配合，對點子圖、口算和豎式這三位一體進行了溝通聯系，把兩式一圖一意義以及豎式的算法徹底地在學生心中生根發芽。為了鞏固豎式算法與算理，筆者播放了微課視頻，再一次加深了學生對算法與算理的理解。由此進入了課堂練習鞏固環節：豎式練習23×13、11×22，學生完成作業的正確率比較高。接著出示找錯題（如下圖），學生一下就能找到錯誤的原因。

下一個環節“你知道嗎”，讓學生進一步明白豎式的每一個步驟是怎樣來的、為什么這樣算，為下一節課總結算法做了詳細的鋪墊。

最后一個環節更是這節課的亮點，將兩位數乘一位數以及兩位數乘兩位數進行對比，讓學生自行發現算法的聯系與區別，同時遷移到“三位數乘三位數的算法（不進位）”上。通過這樣的教學過程讓學生明白，可以把難解決的問題通過轉化變成容易解決的問題。

通過這幾次磨課，筆者發現中低年級的計算教學應當借助具體的問題情境引入。因為學生對于算理的理解和算法的掌握，主要是在學生熟悉的環境中完成，將探索計算和解決實際問題結合在一起，就有利于學生體會運算是現實生活中存在的，是有價值的。也為學生理解算理、掌握算法提供了思維的支撐與路徑：12套書不會算，就借助實際意義去思考，能不能把12套書分解為2部分、3部分去計算？

其次教師要尊重學生已有的知識起點和教材的邏輯起點，開展有效分層教學。在教學時，筆者充分利用挑戰卡和探秘卡，放手讓學生自主探究計算方法，在匯報時，讓三個學生上臺交流，一個說筆算步驟，一個說分步口算，一個說點子圖算理，三個學生的合作就是將三個人的三種算法聯系在了一起，做到了“三合一”，即三人合一、三法合一，將“兩式一圖一意義”算理算法融合在了一起。讓學生充分感受兩位數乘兩位數計算方法多樣性的背后是有共通性的：都是“先分后合”，借助乘法的意義，體現了筆算的基本思想。之后讓學生去思考豎式為什么是把12分成10和2去計算，從而進一步幫助學生優化算法。在這個探索的過程中，教師要充分相信學生，給予學生更多的時間、空間去探索，以學生為中心，把教學的主動權交給他們，讓他們自行溝通介紹算理與算法，正確地處理算法及算理的關系，這樣既兼顧了學生理解算理又讓他們學會了算法，體現了學生的主體地位。

最后，在進行計算教學時，教師既要關注學生計算技能的形成，更要關注數學思維的培養和發展。在學生眾多差異性的算法中進行類比、轉化、遷移，讓學生發現可以把新知識轉化成舊知識（例如本節課筆者就把14×12轉化成了14乘一位數這樣的舊知識）。當學習新知識之后，又幫助學生把知識進行遷移拓展：“如14×12在筆算時，我們要乘兩次，如果是三位數乘三位數，需要乘幾次呢？”學生很快就知道要乘三次，從而達到了思維訓練的目的。

總之，小學數學課堂教學要讓學生的思維看得見，讓學生的學習更加深入，讓學生遇到的問題得到有效的解決，教師就要設計有思維含量的數學活動，激活學生的思維動機，讓學生在潛移默化以及實踐操作中感悟到思維的靈動，讓學生經歷思維的發展過程。在遵循學生認知規律的基礎上，將操作和思維有機結合，從而獲得方法并注重多種方法的溝通；在方法概括優化的提升中，培養學生的歸納、推理、概括的能力。

（責編 林 劍）endprint