《函數的概念》教學設計

展胤

一、教材依據

《江蘇教育出版社》必修1 第二章 第一節“函數的概念和圖像”

二、教學目標

會用集合與對應的語言來刻畫函數，理解函數符號y=f（x）的含義；通過學習函數概念，培養學生觀察問題，提出問題的探究能力。

三、教學重點

正確理解函數的概念，體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型。

四、教學難點

函數概念及符號y=f（x）的理解。

五、教學方法

啟發式與探究式

六、教學過程

一、復習引入

在初中，我們就已經學習了函數的傳統定義，將函數看成兩變量之間的依賴關系。現在我們學習了集合，函數也可以從集合的角度給出新的定義。

二、問題探討

認真閱讀課本上的三個例題，引導學生思考如下幾個問題。

問題1：注意觀察每個實例都涉及到了幾個變量？

答：每個實例都存在兩個變量。

問題2：每個實例中兩個變量之間有什么關系呢？

答：當一個變量取一確定值時，另一變量有唯一確定的值與之對應。

問題3：那根據剛才的這些分析，大家能否用集合語言來闡述這三個實例的共同特點？

答：（1）每個問題都涉及兩個集合A、B。

（2）兩個集合之間存在某種對應。

問題4：大家能否從集合的角度給出函數的新定義？

（一）函數的定義

定義：一般地，設A、B是兩個非空數集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的y與它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為：y=f（x）。其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數y=f（x）的定義域，對于集合A中的每一個x，都有唯一一個輸出值y與之對應，將所有輸出值組成的集合稱為函數的值域。

問題5：這個定義中有哪些地方值得大家注意的？

答：1.非空數集；2.任意性；3.唯一性。

問題6：我們能不能這樣認為集合A就是函數的定義域？當然可以。那么，集合B就是函數的值域？

答：不可以。回到函數定義，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的y與它對應，這句話知識強調了對應過程中，B中元素的“存在性與唯一性”，并沒有要求B集合只能包含與x對應的元素，所以，嚴格來講，函數值域只是B集合的一個子集而已。

總結：（1）A、B是兩個非空數集。

（2）集合A中元素的任意性，集合B中元素的存在性、唯一性。

（3）函數符號y=f（x）表示y是關于x的函數，f是指施加于x的某種對應法則。

（4）若f：A→B，函數的值域是C，那么CB。

例1 判斷下列對應是否為函數。

（1）x→y，這里y=x，x∈R，y>0

（2）x→y，這里y=x2，x∈R，y∈R

（3）x→y，這里y=±x，x≥0，y∈R

（二）函數的三要素

1.定義域、對應法則、值域

思考：這三要素之間有沒有什么關系？

點評：（1）定義域與對應法則共同確定值域。

（2）相同函數：如果兩個函數的定義域與對應法則分別相同，那么這兩個函數相同。

（3）函數的定義域與值域必須要寫成集合或區間的形式。

例2求下列函數的定義域

（1）y=x+1

（2）y=12x-1

（3）y=-x

（4）y=x0

引導學生小結幾類函數的定義域：

（1）整式：一切實數

（2）分式：分母不為0的一切實數

（3）偶次根式：被開方數大于等于0

（4）零次冪：底不為0的一切實數

七、提煉總結

1. 本節課探討了用集合和對應的語言描述函數的概念，并引進了函數符號y=f（x）。

2. 突出了函數概念的本質：兩個非空數集間的一種確定的對應關系。

3.明確了構成函數的三要素：定義域、對應關系、值域。（作者單位：江蘇省泰州中學225300）endprint