教師借題發揮，學生演繹精彩

董天龍

摘要：高中課堂教學中，如何將學生從苦苦掙扎的“題海“”中解脫出來，克服就提論題、模仿復制的傳統解題模式，以適應培養創新性人才的供給側需求，是擺在每一位數學教師面前的嚴峻課題。文章認為教師應引導學生從多角度、多層次地思考問題，充分發揮學生的優勢智能，優化學生數學思維品質，讓數學課堂教學充滿生命氣息，讓教學過程成為師生的一段生命歷程，此為數學在人生意義上的價值，也是數學核心素養培養的最高境界。

關鍵詞：一題多變；學生個性；思維碰撞《新課標》強調：高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一。從高考改革的趨勢來看，將來的高考試題會給思維能力強的考生留下充分施展才能的空間。這種思維能力主要體現在解題能力上，而解題能力的提高在數學復習課中，主要通過讓學生在一題多解、一題多變、一題多用的思維訓練中來完成，進而使其化歸類型、探求規律、縱向挖掘、橫向聯系，真正成為復習課的主體，這才是符合新課改理念的課程觀。

一、一石激起千層浪，學生思維相碰撞

如在高三復習《不等式證明》時，課堂上出示了一道題目：

模型1：已知a，b∈R+，且a+b=1，求證：a2+b2≥12.

師：同學們可敞開思維，廣開思路，用不同的方法去證明，你能有多少種證法？

真是一石激起千層浪！同學們躍躍欲試，爭先恐后。

生：（交流展示自己的“作品”）

法1（消元法），法2（作差法），法3（綜合法），法4（分析法），法5（反證法），法6（判別式法），（此時，嘖嘖聲不絕于耳）法7（均值換元法），法8（三角換元法），（教室里頓時一片歡呼）法9（解析法），法10（幾何構造法）（掌聲一個接著一個）法11（向量法）（真是青山遮不住，畢竟東流去！）

這里，智慧相互碰撞著，聰明相互傳染著，這就是學生的潛能。打開這道閘門吧，學生的潛能將如花綻放，學生的個性將充分張揚，學生的智慧洪流將洶涌澎湃。

師：同學們，剛才問題的條件不變，你還能變換出什么結論？

生：不等式左邊的形式有：整式型、分式型、根式型、和式型、乘積型……

師：同學們，再變換剛才題目的條件，由二元變為三元、四元…n元，結論又有何變化？

生：……（略）

師：解答就留給同學們去探索吧！同學們，剛才變角度，變出了絢麗多姿的解法；變結構，變出了一系列重要猜想；變條件，引申推廣了若干有趣的重要結論。變，小到題目條件可變、結論可變，大到學習方法可變、學習興趣可變，甚至人生可變！事實上，世界萬物都在變，我們也需要改變。變，意味著創造；變，意味著進步；變，意味著創新。世界會因變而美麗，你我會因變而精彩！（同學們又一次情緒激昂地鼓起了不息的掌聲）

試問，這樣讓學生的思維動起來，讓學生的內心世界動起來，讓學生的情感動起來的課堂，不正是喚起學生的生命主體意識的課堂嗎？不正是我們廣大教師的終生價值追求嗎？

二、一花引來百花開，學生個性實難猜

模型2：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且a=3，b+c=3，求當cosA+2cosB+C2取得最大值時的邊b和c的長.

分析：這是根據高考題編制而成的，主要考查解三角形問題，涉及求三角函數的最值問題，實際上還是對公式的熟練應用；此題的關鍵在于用好條件“當cosA+2cosB+C2取得最大值”即它可以得到什么結論，屬于探索性的問題.

師：如何改變條件，使所求結論保持不變？

真是一花引來百花開，同學們個個摩拳擦掌，爭先恐后，學生的思維個性充分張揚，實在令人難以想象！

生1：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且a=3，b+c=3，B+C=2A，求邊b和c的長.

生2：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且a=3，b+c=3，asinA+bsinC=bsinB+csinC，求邊b和c的長.

生3：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且a=3，b+c=3，cosCcosA=2b-ca，求邊b和c的長.

生4：在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且a=3，b+c=3， cosAcosC=a2b+c，求邊b和c的長.

生：……（略）

師：以上這幾位學生的變式與模型的最終結果是相同的，即對同一個問題采取了不同的設計方式，考查的角度變了，考查的效果卻有著很大的差異性啊！

師：采用對比方法簡單分析如下：

生1把條件“B+C=2A”看成是等差數列問題與三角形內角和定理相結合；生2的條件“asinA+bsinC=bsinB+csinC”要運用到正弦定理，而且還要進行是“邊化角”還是“角化邊”的正確選擇問題；生3比生2的情景設置顯得更豐滿些，也是對條件“cosCcosA=2b-ca”的轉化問題，但要比生2的思維含量高，因為既要把此條件進行“邊化角”還是“角化邊”的正確選擇，還要進行是用“正弦定理”還是用“余弦定理”的正確判斷；生4與生3基本相同；生5在條件“4cosA·sin2（π4+A2）=1+sin2A”的轉化過程中雖然沒有用到正余弦定理，但比生2在三角變換方面的要求更高，涉及到的三角公式比較多，對公式的靈活運用要求更高.從以上分析來看，通過模型及其變式對有關三角形問題的設置與解決方法進行了比較全面的分析，可以使學生對解決這類問題形成整體的印象，深刻的理解和掌握了這類問題的方法.

三、心有靈犀一點通，學生智慧真無窮

教學例題大多有其廣泛的應用。一題多解，實現由“點到線”的變化；一題多變，又由“線擴大到面”的變化；而“借題發揮”，則進一步實現由“面到體”的變化。這樣，例題教學便可多層次、廣視角、全方位地進行研究與拓展，充分發揮其潛能。

模型3：已知：00，求證：a+mb+m>ab，我借題發揮，探索一題多用的復習價值

師：利用這個分式型“糖水不等式”能解決哪些問題呢？

真是心有靈犀一點通，打開這道閘門，學生的潛能如花綻放，學生的智慧洪流洶涌澎湃，真是勢不可擋，無窮無盡！

生1：能解決分式型與真假分數有關不等式問題。

生2：可寫出12與1之間的所有分母不大于10的分數。

12<59<47<35<58<23<710<57<34<79<45<56<67<78<89<910<1

生3：求證：123456……99100<110

生4：（1989年廣東高考題）若0

A.cosb+ma+m

C. cosb-ma-m

生5：（1998年全國高考題）求證：

（1+13）（1+15）…（1+12n-1）>2n+12（n∈N，n≥2）

生6：（2001年全國高考題）

已知i，m，n∈N，且1

師：在今后的解題中還會找到更多的應用，這正好印證了華羅庚先生的名言：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅” 。

綜上所述：教師在問題設計時，應注重借題發揮，一題多變、一題多解、多題一解，多題歸一，以小見大，長此以往，可以完善學生知識網絡，提升學生思維能力，此為數學的思維價值。同時，課堂上演繹的生命精彩，可讓教學過程成為學生的一段生命歷程，生命體驗，此為數學的生命價值，這也是培養數學核心素養的必然選擇！ （作者單位：山東省青島市第二中學266061）