高職高數基本知識點的橫向鄰接與縱向拓展

戴興波

摘 要：高等數學基本知識點，如果不注意學習技巧，不但在理解上會給學習者帶來困惑，也會對記憶產生影響，從而會對后續銜接學習內容帶來阻力。筆者通過多年的教學實踐發現，高等數學的基本知識點在整體布局上是有規律可循的，有些知識點之間存在著有機的橫向聯系，有些知識點之間能夠縱向相互支撐，也可以進行縱向拓展。

第一部分：基本知識點的橫向鄰接。我們以定積分為例。我們知道，定積分的概念是建立在極限基礎上的，其基本思想是“化整為零、積零為整”或者叫“以曲代直”，以常規問題的解決手段解決非常規問題，如，不規則圖形的面積、變速運動問題的即時速度等。從基本知識點的串接上，自然聯想到了有限項加和公式各種極限的求法、原函數、不定積分、牛頓萊布尼茨公式等；從思想原理上來看，屬于從特殊到一般然后再回到特殊中去的一種思維規律。從分析的過程不難看出，概念的橫向串接往往是以類接和鄰接為主，而縱向拓展也表現為縱深延拓和反向縱深延拓（即由深層次向淺層次追溯）。下面我們對類接和鄰接進行專門總結。[1]

一、概念定理原理的類接

許多數學概念、定理、原理方面，都存在橫向類接的問題。這類似于歸類方面的知識鏈接，但又不完全等同于歸類分析。同一個概念、原理、定理，如果從不同的角度，可以得到不同的類接結果。如極限的概念的類接如下圖：

以上兩種類接分析告訴我們，不同的分析角度可以產生兩種完全不同的類接結果，這也就給我們提供了多層次類接分析的方法。通過本例我們得到了這樣的啟示：同樣的概念、定理和原理，我們為了實現盡可能全面的了解，就要盡量從不同角度，對同樣的問題進行多層次描述，從而達到全面分析掌握的目的。[2]

二、概念原理的鄰接

許多數學概念、定理和原理之間存在著鄰接。所謂鄰接就是在概念層面上比較接近，在使用上能相互滲透，在記憶上能相互支撐的部分。[3]

我們以連續的概念為例。連續，包括一元函數連續、二元函數連續、多元函數連續等。而連續本身的概念，就鄰接著函數的定義域、函數值、奌極限等概念。另外，連續本身也類接著增量概念、導數、微分、積分、區間連續、最值性、有界性、介質性等都是連續的直接結果。因為連續是用增量定義的，而導數也是用增量進行定義的，只不過是，連續是關于自變量增量與函數增量的先后關聯定義，而導數則是這兩個增量的相互比值定義，而可微也是關于這兩個增量變化的線性關系定義，從而存在著鄰接關系。而連續函數一定存在原函數，從而也必然可積。如下所示：

第二部分基本知識點的橫向拓展。高等數學的關鍵概念之間，不僅和其它概念之間存在著橫向鄰接聯系，同時，還存著著縱向串接關系。再從縱向拓展和滲透的角度考慮，我們發現實際上是用簡單的方法，解決了復雜的問題。例如：基本知識點的縱向拓展范例：極限—無窮小—導數---微分---積分

從定積分概念的縱向發展來看，從最初的一元函數的分割、取點、作和式、取極限定義過程，再到幾何意義；從一元函數再到二元函數二重積分再到三重積分直至多重積分；從定積分再到可變上限的積分，從常規定積分再到反常積分（也稱廣義積分），如下圖：

總之，數學的基本定理、基本概念、基本公式在知識點上存在著橫向鄰接關系和縱向串接拓展關系。正確的分析和處理這些關系，一方面能加深對概念的理解，另一方面，也能促進對概念本身記憶。也就是，雖然看上去這些概念之間似乎是孤立存在的，但實際上，他們之間存在著千絲萬縷的聯系，只要善于總結和發現這些關系，對如何學好高等數學，會帶來意想不到的收獲。

參考文獻

[1] 周金才等，《數學的過去現在和未來》，中國青年出版社，1980年。

[2] 蔣術亮，《中國在數學上的貢獻》，山西人民出版社，1984年。

[3]李迪，《中國數學史簡編》，遼寧人民出版社，1984年。endprint