例談用銳角三角函數求線段的長

禚鵬

求線段長度的題目很多，方法也很多，比如利用全等三角形的性質、勾股定理、利用相似三角形的性質等。本文只討論如何應用銳角三角函數來求線段的長度，下面舉例說明。

例1：

（1）如圖，為測樓房BC的高度，在距樓房30米的A處測得樓頂的仰角為，則樓高BC為 米？

（2）在△ABC中，∠C=90゜，AB=15，sinA=，則BC=

（3）在△ABC中，∠C=90゜，AC=15，cosA=，則AB=

以上3個小題的共同特點是，在直角三角形中，已知一邊和一銳角的某個三角函數值，求另外未知的邊長。這是解決更復雜求長度問題的基礎。

例2：在△ABC中，AB=15，AC=，sinB=，求BC的長。

解析：過A做AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，例2圖由AD=ABsinB 得AD，再由勾股定理得BD=，在Rt△ADC中，由CD=得到CD的長，再據BC=BD+CD即可求得CD的長度。

注：本例所給圖形并非是一個直角三角形，通過做垂線的方法，構造直角三角形，然后即可利用銳角三角函數求解。此即“化斜為直”。

例3：根據圖中所給的數據，求避雷針CD的長。

解析：在Rt△ABC中，BC=ABtan30゜，在Rt△ABD中，BD=ABtan45゜，CD=BD-BC

注：本例是在兩個直角三角形中，分別已知一邊一角，求得另一條邊長。

例4：如圖，在高樓前D點測得樓頂的仰角為30゜，向高樓前進60米到C點，又測得仰角為45゜，求高樓AB的高度。

解析：∵DC=60，DC=DB-CB，又∵DB=CB=∴由方程

60=-可解得AB

注：本例雖然也有兩個直角三角形，但是在其中任何一個直角三角形中，都不能直接解出邊長，需要設未知數，用“方程思想”求解。

例5：某綠地的形狀如圖所示，其中∠A=60゜，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的長度。

解析：本例做輔助線的方法有多種，圖示如下：

雖然輔助線的做法不同，但是都會出現兩個直角三角形，需要分別解兩個直角三角形可得。其中若如圖1所示做輔助線，還需列方程求解，在Rt△BCE中，∵∠E=30゜，BE=BC，CE=2BC，∴在Rt△ADE中，由=cos30゜得，解此方程即可得BC，再由AD=AE得AD。

由以上幾例的解析可以看出，利用銳角三角函數求線段的長，關鍵是找到或構造直角三角形，而且在這個直角三角形中，任何一條邊的長可以由另一條邊的長和其中一個銳角的某一個三角函數值表示。從而直接或列方程可得所求線段的長。endprint