用功能關(guān)系求解兩物體的相關(guān)速度

陳明智

摘要：教學(xué)過程中常碰到相關(guān)速度的求解，在運(yùn)動的合成與分解中這部分屬于重點(diǎn)難點(diǎn)知識，一般情況下教師教學(xué)常用運(yùn)動的分解解決相關(guān)速度，這個(gè)方法在一些案例中較難應(yīng)用，本文主要從功能關(guān)系解決相關(guān)速度的問題。

關(guān)鍵詞：能量守恒角度；內(nèi)力做功角度；相關(guān)速度問題

同學(xué)們經(jīng)常遇到這樣一類問題：幾個(gè)物體的運(yùn)動存在著某種關(guān)系，根據(jù)其中一個(gè)物體的運(yùn)動速度求其它物體的運(yùn)動速度，這類問題稱為相關(guān)速度問題。相關(guān)速度問題一般用以下三個(gè)結(jié)論：①剛性桿，繩上各點(diǎn)在同一時(shí)刻具有相同的沿桿、繩的分速度；②接觸物系在接觸面法線方向的分速度相同，切向分速度在無相對滑動時(shí)亦相同；③線狀交叉物系交叉點(diǎn)是相交物系雙方沿雙方切向運(yùn)動分速度的矢量和。

通常是將有關(guān)速度進(jìn)行矢量分解，而根據(jù)平行四邊形法則，一個(gè)速度矢量可以有無數(shù)多種分法，在這無數(shù)多種分法中應(yīng)該選取哪一種，同學(xué)們是很感困難的，這對于同學(xué)們來說難度較大，不易理解和掌握。其實(shí)我們可以從功能角度分析相關(guān)速度問題，解題過程簡捷且容易理解和掌握?，F(xiàn)介紹如下：

一、從能量守恒角度分析相關(guān)速度問題

由輕繩、輕桿連結(jié)的物體，由于輕繩、輕桿的質(zhì)量為零，根據(jù)能量守恒定律，其中一個(gè)物體對輕繩、輕桿的做功功率等于輕繩、輕桿對其它物體做功的功率。

例1：如圖，一輛汽車通過一根跨過定滑輪的輕繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體，設(shè)繩的總長度不變，定滑輪的質(zhì)量和尺寸及滑輪上的摩擦不計(jì)，定滑輪距離地面的高度為H。開始時(shí)車（可看做質(zhì)點(diǎn)）靜止在A點(diǎn)，左右兩側(cè)繩都是繃緊且豎直的，提升時(shí)，車加速向左運(yùn)動，沿水平方向從A經(jīng)B駛向C，如圖2所示，車過B點(diǎn)的速度為vB，此時(shí)繩與水平面的夾角為45°，求車由A駛到B的過程中，繩Q端的拉力對井中物體做的功？

二、從內(nèi)力做功角度分析相關(guān)速度問題

當(dāng)兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的物體間的相互作用力是保守力時(shí)，即重力、彈力、萬有引力以及靜電力等。這一對作用力和反作用力做功的瞬時(shí)功率的代數(shù)和為零。

例2：如圖所示，半圓型物體A水平向右運(yùn)動，推動直桿B豎直向上運(yùn)動，當(dāng)半圓型物體A的速度大小為vA時(shí)，直桿B與物體A的交點(diǎn)和半圓型物體的圓心的連線跟水平方向成θ角，求此時(shí)直桿B的速度大??？

解析：設(shè)半圓型物體A與直桿B間相互作用的彈力大小為N，直桿B的速度大小為vB

直桿B對物體A的彈力做功瞬時(shí)功率為：P=NvAcosθ

物體A對直桿B的彈力做功瞬時(shí)功率為：P=NvBsinθ

由P=P， 得 vB=vA/tinθ。

例3：如圖，直桿OA在O處通過絞鏈固定，桿OA與地面間放有一高度為h的方木塊，當(dāng)OA桿以角速度ω順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動至與水平面成θ角時(shí)，木塊運(yùn)動速度多大？

解析：設(shè)OA桿與木塊間相互作用的彈力大小為N，木塊運(yùn)動速度為v，OA桿與方木塊的交點(diǎn)B的速度大小為：

直桿對方木塊的彈力做功瞬時(shí)功率為：P=Nvsinθ

方木塊對直桿的彈力做功瞬時(shí)功率為：P=NvB=Nhω/sinθ

由P=P得， v=hω/sin2θ。

例4：如圖，B是質(zhì)量為mB，半徑為R的光滑半球形碗， 放在光滑的水平桌面上。A是 質(zhì)量為mA的細(xì)長直桿，被固定的光滑套管C約束在豎直方向，可自由上下運(yùn)動。碗和桿 的質(zhì)量關(guān)系為mB=2mA。初始時(shí)，A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸，如圖。然后從靜止開始釋放A，A、B便開始運(yùn)動.設(shè)A桿的位置用θ表示，θ為碗面的球心O至A桿下端與球面接觸點(diǎn)的連接方向和豎直方向之間的夾角。求A與B的速度大小。

解析：取地面為參考系，任何時(shí)刻，A沿豎直方向運(yùn)動，設(shè)其速度為vA，B沿水平方向運(yùn)動，設(shè)其速度為vB，兩者間僅存在法線方向彈力相互作用N和N，其中A桿所受彈力N對桿做功的瞬時(shí)功率大小為：P=NvAcosθ

碗所受彈力N 對碗做正功的瞬時(shí)功率大小為P=NvBsinθ

由P=P，得vA=vBtanθ。

三、結(jié)語

輕繩、輕桿，以及兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的物體間的相互作用力是保守力，例如彈力時(shí)，他們都既不會提供能量，也不會消耗能量，其作用就是起到傳遞能量的作用，故任何時(shí)候輸入功率與輸出功率相等。從功能角度分析相關(guān)速度問題，本質(zhì)上揭示物體之間的速度關(guān)系思路簡捷，不易出錯。并可加深對功和能的知識的認(rèn)識和理解，有助于學(xué)生吃透相關(guān)速度問題，更有利于克服同學(xué)們的思維障礙，易于理解接受。

參考文獻(xiàn)

[1] 袁孝金.淺談繩系物體間的相關(guān)速度[J].中學(xué)立刻參考資料，1996.

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