由一道古題引發的新思考

賈蓓蓓

數學是思維的體操，初中數學教學，就要引領學生在思維領域里學習、磨練、提升。在數學學科課堂教學中，有一道古老而又有趣的題目在我心中留下很深的印象，帶給我許多思考與感悟。

我國古代許多數學的發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（圖一）就是一例。楊輝，字謙光，南宋時期杭州人，在他所著的《詳解九章算術》一書中，輯錄了一個如下圖所示的三角形數表，稱之為“開方法本源圖”。經過觀察研究發現，兩腰上的數都是1的前提下，楊輝三角有許多重要的特點。例如每個數均為其上方左右兩數之和等等。

如圖二，某同學發現楊輝三角給出了給出了（a+b）n（n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律.例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應（a+b）2=a2+2ab+b2展開式中的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數.

（1）通過觀察，請你寫楚楊輝三角具有的任意兩個特點（閱讀材料中的特點除外）

（2）計算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1

（3）請你直接寫出（a+b）5的展開式。

點評：本題考查了完全平方公式，學生的觀察分析邏輯推理能力，讀懂題意并根據所給的式子尋找規律，是快速解題的關鍵。

學生的做題結果：對于班級中前10名左右的同學解答基本沒有問題，而對于多數的同學（1）問還可以，后面的就不知道如何下手。但是老師講解后，好多學生說很簡單啊。從中可以反映出學生的觀察分析能力在前面的學習中并沒有很好的培養起來，他們只會跟著老師的節奏，按照老師設計的思路去解決問題，沒有自己的想法。

那么，如何在平時的教學中培養學生的分析問題、解決問題的能力？我有三點思考：

第一、數學教師要重視數學文化的傳播

《義務教育數學課程標準》教材編寫建議指出：“數學文化作為教材的組成部分，應該滲透在整套教材中。”例如在數學教材中有華羅庚、我國古代重要的數學著作《九章算術》，以及“賈憲三角”“古建筑中的旋轉對稱圖形——從敦煌洞窟到歐洲教堂”等等。這些材料能幫助學生了解數學在人類發展中重要作用，還可以激發學生學習數學的興趣，感受數學的嚴謹性，欣賞數學的美。

而在以前在數學教學過程中，我對于數學文化部分不夠重視，常常一筆帶過，導致學生在面對數學文化知識時十分棘手，感覺這些題目深奧難懂，無從下手。這就啟示我們，在數學教學中，教師應該注重數學文化的滲透，充分引導學生感受古人智慧、繼承優秀文化、陶冶自身心靈，以發揮數學課程的育人功能。教師要引導學生通過查閱資料、閱讀中外數學名著和數學家的故事、關注數學的發展等途徑，從歷史、現實、發展等多方面了解數學文化，讓數學課堂承載繼承與傳播數學文化的的大課堂，從而熱愛數學、理解數學、體會數學的價值。

第二、數學教師要重視數學知識體系的構建

在這道題目中，呈現的不僅是簡單的數字，而是由圖形、數字到包含規律的綜合表達。對于第一問只要學生認真觀察圖一就可以看到：首先是形狀來說幾何中的三角形，這時從三角形的角度出發，就可以找到它的特點；其次從代數的角度觀察數之間的關系，也可以很清楚的看到它的特點。而對于二、三問來說：（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于（a+b）n-1的相鄰兩個系數的和，由此可得（a+b）4的各項系數依次為1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各項系數依次為1、5、10、10、5、1.還要特別注意兩個圖之間的聯系。

這就啟發我們，數學教學不僅僅是數學知識的傳授，更是數學知識體系的建立；不僅是計算的演練，更是數學知識普遍聯系的運用。

首先，要關注數學知識學科內部的知識聯系通融性。“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“課題學習”幾大領域不是割裂的條塊。教師應該引導學生知道知識是有可能以交織在一起的形式出現，如數形結合、數據處理、數學建模等。隨著學習內容的不斷增多，可在學生頭腦中形成完整的認識體系與合理的知識結構，也利于發展學生綜合應用知識的能力。

其次，要關注新舊知識之間的聯系通融性。比如，逆向思維教學法就是聯系新舊知識的最有效的教學方法，對于幫助學生溝通知識之間內在聯系的作用是非常顯著的。例如在教學切線長定理時，就可以利用課本中切線長定理推導的例圖，引導學生找出圖中所有的全等三角形，所有的相似三角形，所有的等腰三角形以及所有的垂直關系。這樣一面可以使學生深化切線長定理，一面又可以讓學生與已學知識構成聯系，形成知識鏈條。這種教學不僅能讓學生迅速理解消化剛接受的知識，更能有利于學生構建系統的知識結構圖，真正理解和剖析知識與知識之間的內在聯系，形成細密的知識網絡。

第三、教師要重視培養學生分析解決問題的能力

傳統的數學教學，教師設置問題，學生處于被動應答的地位。在教師指令性的提問中，學生按照老師設計好的路線，一步一步到達終點；如果在此過程中，學生有絲毫的偏差，老師會很快地把學生拉回到老師設計的既定軌道中，學生難以有充分展示自我的機會。然而，隨著課改的跟進，考試中許多的新題型的出現，需要的是學生成為學習的主體去發現和解決問題，從而要求教師對傳統課堂教學模式做出改變和突破。新的課堂設計應該更好解放學生思維，給學生充分展示個性和主動性的機會。所以，教師要轉變觀念，由重視教師“教”的角色，向重視學生“學”的角色轉變。由原來教師設計教學過程向學生參與課堂設計轉變，由原來教師講學生聽向學生小組合作探究攻克疑難轉變。如：我們在講解《平方差公式》的過程中，會有檢驗學生對于公式的特點的掌握情況，在此處可以讓學生自己設計題型，教師提出假設性的問題：“如果你是一名老師，如何設計一個題來檢驗同學們是否掌握平方差公式。”在學生出題的的過程中，既可以讓讓學生熟練的掌握公式，又可以引導學生自己感悟公式的特征，學會熟練應用公式，給學生主動思考的空間，數學思維得到發展，有利于培養學生用數學的思想去分析問題和解決問題。

由一道古老的數學問題，激起了我對自己數學教學的諸多反思和感悟。我想，我們的數學教學，不僅是讓學生獲得數學知識，更是要學會運用數學知識解決各種生活問題的能力。這是素質教育的重要內容，也是時代對我們的數學教師提出的要求。在課程改革的過程中，我們每一位老師要以課程標準為導航，把解決問題與數學基礎知識和基本技能的發展融為一個過程，讓學生在解決問題的過程中學習數學，實現解決問題能力與知識、技能的同步發展。師生要攜手，一起去探究數學之奧秘，去體驗數學的博大精深之美。（作者單位：山西省臨汾市解放路學校041000）endprint