環路跟蹤卡爾曼濾波算法的性能分析

傅金琳，許俊杰，劉紅光，楊 濤，張 丞

（1. 天津航海儀器研究所，天津 300131；2. 中國移動天津公司，天津 300308）

環路跟蹤卡爾曼濾波算法的性能分析

傅金琳1，許俊杰2，劉紅光1，楊 濤1，張 丞1

（1. 天津航海儀器研究所，天津 300131；2. 中國移動天津公司，天津 300308）

基于卡爾曼濾波的環路跟蹤算法多是通過一定仿真證明算法性能，沒有系統性性能評估，難以較好指導工程應用。在原有算法基礎上進行了優化，并系統性地對比分析、評估了基于卡爾曼環路濾波算法性能，以期為算法工程化提供指導。首先提出對跟蹤環路反饋調整量進行預測，使之更符合系統實際，減小環路跟蹤誤差。而后基于衛星信號模擬器輸出信號和自生產信號源，充分評估基于卡爾曼濾波環路跟蹤算法的收斂時間和靈敏度。仿真結果表明，相比目前工程常用的二階FFL輔助三階PLL算法，基于卡爾曼濾波環路跟蹤算法能夠縮短環路所需穩定時間約90%，并能提升跟蹤靈敏度約5 dB，有效改善弱信號場景中接收機輸出信息的完好性和連續性。

卡爾曼濾波；環路跟蹤；收斂時間；跟蹤靈敏度

全球導航衛星系統（GNSS）的應用目前已經滲透到國防、農業、工業、交通、城市建設等諸多領域，而且新的應用市場不斷出現，致使相關消費群體迅速增加，圍繞GNSS及其應用已經形成了一個龐大的產業[1]。然而衛星信號容易受到障礙物遮擋、多徑效應等的影響，導致接收機接收的信號功率衰減嚴重，普通接收機在這種弱信號環境中特別容易失鎖，衛星失鎖后還需要一定的時間進行失鎖重捕、重跟蹤，這嚴重影響衛星導航輸出信息的穩定性、連續性和完好性[2]。

針對此問題，廣大學者開始了高性能跟蹤技術的研究，即如何在弱信號等復雜電磁環境中實現衛星接收機的高精度、高可靠性導航信息輸出。由于接收機性能同時受到外界噪聲和載體動態應力兩方面的影響，有些學者提出采用鎖頻環（FLL）輔助鎖相環（PLL），還有的提出采用卡爾曼濾波（KF）[3-4]、擴展卡爾曼濾波[5-6]EKF）或者無跡卡爾曼濾波（UKF）[7]，還有的提出了矢量跟蹤技術[8-11]。這些算法能夠在一定程度上改善接收機跟蹤性能，提升接收機輸出的導航信息質量。然而大多數學者只是提出算法本身，通過一定仿真證明提出算法的有效性，鮮有對算法性能進行系統性評估的，不能有力指導算法的工程應用。針對此問題，本文貼合工程實際，對基于卡爾曼濾波的跟蹤算法進行了一點改進，充分評估算法性能，以期能指導算法的工程化。

1 信號數學模型

1.1 卡爾曼跟蹤環模型

圖1給出了基于卡爾曼濾波的衛星接收機載波跟蹤環路示意圖。

圖1 基于卡爾曼濾波跟蹤環路Fig.1 Tracking loop based on Kalman filter

首先通過本地數控振蕩器（NCO）復現的載波信號來剝離接收機數字中頻（SIF）信號的載波，以產生同向（I）和正交（Q）采樣數據。而后，I和Q分量與本地復現即時（P）碼做相關運算，得到信號i和q：

式中：D(n)為正負1的數據電平值；為復制的C/A碼與接收到的衛星C/A碼之間的相位差；θe(n)為復制載波與接收到的載波相位差；ni(n)和nq(n)分別為i、q兩路的噪聲。

接下來相關結果經積分累加器單元后分別輸出相干積分Ips和Qps：

式中：Ncoh表示相干積分時間T內輸入到積分器的數據個數。將式(1)和式(2)分別代入式(3)和式(4)可得：

式中：NI( n)和Nq( n)分別為噪聲ni( n)和nq( n)的疊加值，且服從均值為0，方差為σ2的正態分布。

Ips和Qps經過環路鑒別器得到相位誤差θe和頻率誤差fe作為卡爾曼濾波器的觀測量，經過卡爾曼濾波后得到載波NCO的控制參數，以保證環路的穩定跟蹤。

定義載波卡爾曼濾波的狀態量為

式中：θ為本地載波相位誤差；ω0為本地載波多普勒頻率誤差；ω1為本地載波多普勒頻率變化率誤差。

離散化的本地載波線性狀態方程表示為

式中：Φ為狀態轉移矩陣；B為輸入轉移矩陣；U為本地載波反饋的調整量，且；n為過程噪聲，，其協方差矩陣為。

在給出卡爾曼濾波狀態方程后，給出卡爾曼濾波觀測方程，用載波相位估計誤差和載波頻率估計誤差作為觀測量，即觀測量，其中，從而觀測表示為

1.2 反饋調整量的計算

在接收機載波跟蹤環路的卡爾曼濾波中，當前時刻載波NCO調整量是從前一個預檢積分時間內輸入的中頻信號中提取的，如果直接利用此調整量去調節載波NCO，會導致本地載波與輸入載波相比存在一定的時間滯后，并使導航電文解調產生誤碼，因此這里在環路設計中引入狀態補償器，以修正調整量的滯后性誤差。

接收機載波跟蹤環路調整間隔為一個預檢積分時間T，即卡爾曼濾波狀態估計的滯后時間為T，因此調整量U與狀態量X直接的關系為

1.3 卡爾曼跟蹤算法遞推

卡爾曼跟蹤算法是根據前一時刻對狀態的估計值和當前時刻的觀測值來獲得當前時刻的濾波值，因此整個環路濾波過程可以分為狀態預測和狀態更新兩部分。

1）預測

一步狀態預測方程：

一步狀態預測均方誤差：

2）更新

濾波增益：

狀態估計方程：

狀態估計均方差：

2 仿真結果分析

為了更好地體現基于卡爾曼濾波跟蹤算法的性能，這里分別基于采集的衛星信號模擬器信號和自生產信號仿真對比分析基于卡爾曼濾波的跟蹤算法性能和目前工程化較為常用的二階FLL輔助三階PLL環路跟蹤算法性能。

2.1 基于模擬器信號仿真分析

基于Matlab平臺，仿真對比分析卡爾曼濾波算跟蹤法與二階FLL輔助三階PLL算法的性能差異。GPS中頻信號基于衛星信號模擬器采集，采樣率為62 MHz，數字載波頻率為8.58 MHz。運動場景為初始速度為北向10 m/s，加速度為北向10g。

圖2給出了采用二階FLL輔助三階PLL算法與卡爾曼濾波跟蹤算法時，接收機載波跟蹤環路運行400 ms的I路累積值。理論上GPS I路累加值為方波形狀，在遠離0值的兩側。從圖2中可以看出，卡爾曼濾波算法在10 ms后I路累加值即為遠離0值的方波，不會出現數據的誤判；而二階FLL輔助三階PLL算法大概在140 ms后I路累積值才穩定，數據位不會誤判。可見在此運動場景中，卡爾曼濾波相比二階FLL輔助三階PLL算法所需穩定時間極大改善，提升了93%。

圖3給出了采用二階FLL輔助三階PLL算法與卡爾曼濾波算法時，接收機載波跟蹤環路運行5000 ms的相位誤差情況。從圖3中可知，二階FLL輔助三階PLL算法需要約800 ms才能完全收斂，而卡爾曼濾波算法需要約80 ms即能完全收斂。可見采用卡爾曼濾波收斂時間改善了90%。在穩定跟蹤后，兩種濾波算法下，環路相位誤差差不多，即卡爾曼濾波算法不能提升接收機的測速精度。

圖2 兩種濾波算法I路累加值比較Fig.2 Comparison on I values of the two filtering methods

圖3 兩種算法相位誤差比較Fig.3 Comparison on phase errors of the two algorithms

2.2 基于自生成信號仿真分析

1）仿真條件

基于自編中頻信號數據對不同載波環路跟蹤算法的跟蹤靈敏度進行評估。中頻信號采樣率為62 MHz，數字載波頻率為8.58 MHz，數據位都為正1。

2）跟蹤靈敏度仿真分析

圖4給出了靜態下二階FLL輔助三階PLL算法的跟蹤靈敏度。從圖4可知，在信噪比為-31 dB時，二階FLL輔助三階PLL算法跟蹤中I路累加值不會出現負值，即數據位不會出現錯判。當信噪比為-32 dB時，載波環路I路累加值出現負值。因此認為二階FLL輔助三階PLL算法的跟蹤靈敏度為信噪比-31 dB。

圖4 靜態下的二階FLL輔助三階PLL算法跟蹤靈敏度Fig.4 Tracking sensitivity of the two order FLL aided three order PLL algorithm under static conditions

圖5給出了靜態下基于卡爾曼濾波的載波跟蹤算法跟蹤靈敏度。從圖5中可知，當信噪比為-36 dB時，I路累加值不會出現負值，而當信噪比為-37 dB時，I路累加值出現了負值，即數據位可能出現誤判，因此認為基于卡爾曼濾波的載波跟蹤算法的靈敏度為信噪比-36 dB。

圖5 靜態下基于卡爾曼濾波跟蹤算法的跟蹤靈敏度Fig.5 Tracking sensitivity of tracking algorithm based on Kalman filter under static state

對比圖4和圖5可知，基于卡爾曼濾波載波跟蹤算法相比二階FLL輔助三階PLL算法的跟蹤靈敏度提升了5 dB。載波環路跟蹤靈敏度的提升等效于抗寬帶干擾能力的提升，因此基于卡爾曼濾波載波跟蹤算法相比二階FLL輔助三階PLL算法的抗寬帶干擾能力提升了5 dB。

3 結 論

本文首先給出了基于卡爾曼濾波載波跟蹤算法的理論分析，建立了數學模型，而后分別基于衛星信號模擬器采集數據和自生成中頻信號對比分析了基于卡爾曼濾波載波跟蹤算法和二階FLL輔助三階PLL算法的性能。仿真結果表明，基于卡爾曼濾波載波跟蹤算法相比二階FLL輔助三階PLL算法能夠更有效縮短載波環路穩定跟蹤時間，靜態下跟蹤靈敏度提升了5 dB。因此基于卡爾曼濾波載波跟蹤算法較為適用于城市、密林等弱信號場景的跟蹤，且在信號失鎖時能實現快速跟蹤，有效改善衛星接收機輸出信息的完好性和連續性。

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Performance analysis of tracking loop Kalman filter algorithm

FU Jin-lin1,2, XU Jun-jie2, LIU Hong-guang1, YANG Tao1, ZHANG Cheng1
(1. Tianjin Navigation Instruments Research Institute, Tianjin 300131, China;2. China Mobile communication group Tianjin Co., Ltd., Tianjin 300308, China)

Some simulations have been done to prove the advantages of the tracking loop algorithm based on Kalman filter, but there is few systematic performance evaluation. These results have little guide to the engineering application. In this paper, the original algorithm is optimized, and the performance of the tracking loop based on Kalman filtering is systematically-comparatively analyzed and evaluated. First of all,the tracking loop feedback adjustment is proposed to make it more in line with the actual system situation.Then based on the signal from the satellite signal simulator and the signal source from the production, the sensitivity and convergence time of the tracking loop algorithm based on Kalman filter is fully evaluated. The simulation results show that, compared with the current two-order FFL aided three-order PLL algorithm, the tracking loop algorithm based on Kalman filter reduces the convergence time by about 90%, and improves the tracking sensitivity by about 5dB, which effectively improves the integrity and continuity of the receiver output information in weak signal scene.

Kalman filter; tracking loop; convergence time; tracking sensitivity

U666

：A

1005-6734(2017)03-0309-04

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.03.006

2017-03-23；

：2017-05-15

2015年度天津市企業博士后創新項目擇優資助計劃

傅金琳 (1984—)，女，博士后，高級工程師，研究方向為綜合導航技術。Email: linkimf@163.com