論函數單調性在中學數學中的應用

郭玲++余升璟

摘要：本文研究函數單調性在解決比較大小、求函數值域與最值、恒成立問題求參數、解不等式、證明不等式以及數列這六個方面的應用，本文主要通過有簡單到復雜，對所構造函數研究其單調性，從而確定函數的值的范圍來解決這六方面的應用，其中用到了分類討論思想。文中例題大多選自近幾年高考試題的壓軸題或數學競賽題，加進了作者的思想，對學習函數知識有很大的幫助。

關鍵詞：函數單調性；比較大小；值域與最值；不等式；數列；參數

首先，從單調性知識本身來講，我們對于函數單調性的學習共分為3個階段：（1）在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖像的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；（2）在一步一步學習函數單調性的嚴格定義，在數和形兩個方面理解單調性的概念；（3）在高二利用導數為工具研究函數的單調性。高一單調性的學習，既是初中學習的延續和深化，又為高二的學習奠定基礎。

其次，從函數角度來講，函數的單調性是我們學習函數概念后學習的第一個函數性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念。函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律。學生對于這些概念的認識，都經歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義3個階段，即都從圖像觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程。因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其他性質提供了方法依據。

最后，從學科角度來講，函數的單調性是學習不等式、數列、導數等其他數學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材。

一般地，設函數 的定義域為I：如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值 ， ，當 < 時，都有 < ，那么就說 在這個區間上是增函數；如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值 ， ，當 < 時，都有 ﹥ ，那么就說f（x）在這個區間上是減函數。說明：設函數 定義在區間I上且 I，則若函數 在區間I上是單調增（減）函數，則 （或 ）。若函數 在區間I上是單調函數，則 。若函數 在區間I上是單調函數，則方程 在區間I上至多有一個實數根。若函數 和 的單調性相同，則在它們公共的定義域內，函數 亦與它們的單調性相同。

一、利用函數單調性比較大小

例：設 = +b +c對任意的實數t，都有 （2+t）= （2-t），判斷 （1）、 （2）、 （4）的大小。

解：由 （2+t）= （2-t）知函數 的圖像關于直線 =2對稱，且 在[2，+∞）上是增函數。

所以： （2）< （3）< （4） 而： （1）= （2-1）= （2+1）= （3）

所以： （2）< （1）< （4）

例2 已知 都是正數，并且a

解：構造函數 = ，

由b-a>0，知 在（-b，+∞）上是增函數，于是 =1

在（-b，+∞）上也是增函數。由m>0及性質（1）得 （m） > （0），故 >

前面兩個例子都是比較簡單的利用函數單調性來比較大小的式子，顯而易見，我們可以根據函數單調性的性質來解決這類問題就簡捷多了，若我們遇到以下類似的問題又該如何來解決呢？

例3 比較 與 的大小。

分析：顯然這兩個算式不可能用手算，甚至于一般的電子計算機在計算的時候也會溢出。我們可以將比較這兩個算式轉化為比較 和 （當 =1992）大小。

解：經過歸納，我們可以發現，當 =1，2時， < ；當 =3，4，5，時， > 。因此我們可以 猜測，當 3時， > 。下面構造函數 ，利用函數的單調性證明 > 。

構造函數 = （ 3），

則有 - = =

= >0，

所以函數 在 ∩Z上單調遞增。因為 = = >1，所以當 3時， >1，即 > ，所以 > 。

評注：作為對 > （當 3時）的證明，還可以用數學歸納法或二項式定理，此外，若利用高等數學的知識，解答會更加簡便。

（一）利用函數單調性求值（值域、最值）

函數的單調性是反應函數值隨自變量的增大而增大（或減小）的變化規律。因此在研究函數問題時，如果涉及倒函數值的變化問題，不妨考察該函數的單調性，往往能使問題迎刃而解。下面我們就一起來看看，以下各例是如何處理的。

例4 例1實數 和 滿足 ， ，求 + 。

分析：仔細觀察所給的兩個等式，可以發現兩個等式可以改寫為 和 ，從而找到解題的路徑。

解：由 ，可得 ；

由 ，可得

構造函數 ，可知 在R上單調遞增，并且有 = ，于是 ，故 + =2

評注：本題結構比較新穎，解法比較獨特，是在對兩個一直等式的結構進行了分析的基礎上，通過構造R上的單調函數 ，解決了問題。

（二）利用函數單調性確定參數的取值范圍

設 = ，其中 R，如果當 時 有意義，求 的取值范圍。

解：根據題意有 >0，即 > ， 。

因為 與 在 上都是增函數，所以 在 上也是增函數，所以它在 時取最大值為 = 。

即 ，所以 > 。

對含有參數的方程或不等式問題，經過變形以后，可以將參數分離出來成為主元，構造出適當的函數，通過對所構造的函數的單調性進行討論，即可以得到參數的取值范圍，

例5 設函數 = ，（ R， N， 2）， 若當 時 有意義，求 的取值范圍。

解：由 有意義，有 >0，

于是 > 在 上恒成立（ N， 2）。

設 = ，顯然 在 上是增函數，

所以 = ，

所以當 > 時， > 在 上恒成立，所以 的取值范圍是 。

（三）利用函數單調性解不等式

單調性與不等式聯系密切，單調性是用不等式來描述的；反之，具體函數的單調性反映了一些不等關系。

例6 定義在 上的函數 滿足 =1， = + 且當 時 > ，解不等式 + 2.

分析：可根據抽象函數性質吧不等式兩邊都化為函數值，然后由函數的單調性去掉函數“ ”符號，將其轉化為代數不等式去解。

解：由題意知 ， 在 上為增函數，

故 。由性質（1）得 4且 >0，

故原不等式的解集為 。

若 在區間D上為單調增（減）函數，且當 D時有 成立，則有 。

例7 求不等式 的解集。

解：原不等式等價于設 ，則有 ，于是原不等式化為 ，所以 ，即 ，

因為 和 都是R上的減函數，因此 是R上的減函數，

由于 ，因此由 解得 ，即 ，解得 。

結論

函數是中學數學的主要內容之一，函數思想也是中學數學的主要數學思想之一，其中函數的單調性是函數思想重要方面，它在解決具有函數關系，特別是有關函數值的變化問題時有很大的作用，以上幾例可以說明這一點。

參考文獻

[1] 吳志義 函數單調性在解題中的應用 中國科教創新導刊2007.469 80頁

[2] 黃偉亮 函數單調性的六大應用 數學教學通訊2005.12.241 13-14頁

[3] 劉大鳴、王水建 如何求解數列問題中的最值 數學教學通訊2005.12. 241 89-90頁

[4] 何業良 例談函數單調性的應用 高中數學教與學2005.7 7-8頁