固定端約束在截面法計算中的應用

馬立安　何冬青　商玉梅

摘 要 分別用截面法和固定端約束的方法分析了軸向拉伸與壓縮、扭轉、彎曲時軸的內力，說明了固定端約束求外力和截面法求內力是統一的，啟發學生思考，加深對內力與外力概念的理解。

關鍵詞 固定端約束 截面法 受力圖 受力分析

中圖分類號：TU311.4 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.07.028

Application of Fixed End Restraint in Sectional Method Calculation

MA Lian， HE Dongqing， SHANG Yumei

（Shengli College， China University of Petroleum， Dongying， Shandong 257061）

Abstract Separately using section method and fixed constraint analysis of axial tension and compression， torsion， bending axis force， the fixed constraint for the external force and the section method for internal force is unified， inspire students thinking， deepen the understanding of the concept of internal and external forces.

Keywords fixed end constraint； section method； force diagram； force analysis

0 序言

求約束力是理論力學靜力學部分的重要研究內容，通過解除約束，用約束力替代約束，列出平衡方程組，解平衡方程組而求得約束力的大小。截面法是材料力學求解內力時常用的一種方法，主要分為截開、取出、替代、平衡四步，在桿件的軸向拉伸與壓縮、扭轉、彎曲計算內力時都會用到。在教學過程中，將截面法與約束思想相結合，聯系固定端與截面兩個概念，比較固定端約束平衡方程與截面法平衡方程，發現其共同點，啟發學生思考，加深對內力與外力概念的理解。

1 固定端約束

固定端約束是理論力學靜力學部分的基本約束之一，其約束畫法與受力圖畫法如圖1所示。對于平面問題，其約束力可用正交分力FAx、FAy表示，約束力偶為MA，共有三個未知數。

2 軸向拉伸與壓縮時求某一截面的內力的方法

（1）求某一桿件m-m截面內力（圖2），先沿該截面假想將桿件切開，使其分為兩部分；取其中一部分（如右段）為研究對象：以內力代替棄去部分對選取部分的作用；橫截面上的內力大小可由平衡方程求得。即

（2）使用約束思想將m-m截面左段和右段的關系想象為左段為對右段的固定端約束。求內力則變成了求外力（約束力）。畫受力圖為圖3。

可按固定端約束列平衡方程并求解：

此時可見截面法求內力實際與固定端求約束力結果是一致的。FAx與FN相差一個符號是因為在受力圖中這兩個力的方向相反。FAy與MA都為零，也與截面法結果一致。

3 扭轉時求某一截面的內力的方法

（1）求任意橫截面n-n上的內力（圖4），假想沿n-n截面將軸切開，分為左右兩段。可取右段為研究對象，由于右段有外力偶作用，在n-n截面上，必存在內力偶T與之平衡。即

（2）使用約束思想將n-n截面左段和右段的關系想象為左段為對右段的固定端約束。求內力則變成了求外力（約束力）。畫受力圖為圖5。

可按固定端約束列平衡方程并求解：

此時可見固定端求約束力與截面法求內力結果是一致的。MAx與Me相差一個符號是因為在受力圖中這兩個力偶的方向相反。其他量均為零，也與截面法結果一致。

4 彎曲時求某一截面的內力的方法

（1）梁AB總長l，受橫向力F作用（圖6），相應的支座約束力FAx、FAy、FB。求距A端x處橫截面m-m上的內力。由截面法，沿截面m-m將梁截開，選右段為研究對象。因外力FB垂直于梁的軸線，故在截面m-m內應有一個與界面相切的力Fs和一個在外力作用面內的力偶M與之平衡。Fs和M分別稱為剪力和彎矩。剪力和彎矩的數值可由右段梁的平衡方程確定。

（2）使用約束思想將m-m截面左段和右段的關系想象為左段為對右段的固定端約束。求內力則變成了求外力（約束力）。畫受力圖為圖7。

可按固定端約束列平衡方程求解：

此時可見固定端求約束力與截面法求內力結果是一致的。FCy與FS結果一致，因為這兩個力在受力圖中方向相同。MC與M相差一個符號是因為在受力圖中這兩個力偶的方向相反。其他量均為零，也與截面法結果一致。

5 結論

通過上面的分析發現，求內力的截面法和求外力的解除約束法在本質上一致的。內外只是一個相對的概念。在靜力學選用整體為研究對象時，兩個構件之間的約束力也由外力變為內力。用在教學過程中，可以啟發學生思考，加深對內力與外力概念的理解。

參考文獻

[1] 陳位宮.工程力學（第3版）.北京：高等教育出版社，2012.

[2] 商玉梅.應用型人才理論力學課程教學改革與實踐.教育導刊，2017（2）.