幾類特殊的積分因子求法

張嘉煒

摘 要：積分因子法是求解常微分方程的一種重要的辦法，本文先簡單介紹了只跟 或者 有關的兩類積分因子，接著介紹了幾類特殊方程，如伯努利方程，齊次方程， 為特殊多項式的方程的積分因子，以及其計算方法。

關鍵詞：積分因子 為特殊多項式的方程 伯努利方程 齊次方程

一、兩種常見的積分因子

如果存在連續可微的函數 ，使得

為一恰當微分方程，即存在函數 ，使 ，則稱 為方程（1） 的積分因子。

這時 是方程（1）的通解。通過解上述方程求積分因子一般較為困難，但在幾種特殊情況下，比較容易。對于方程 ，如果存在只與 有關的積分因子 ，則 ，這時方程（2）變為 即

由此可知，方程（1）有只與 有關的積分因子的充要條件是

方程（2）的一個積分因子為 ，（2）只與 有關的積分因子的充要條件以及相應的積分因子同理可得。

二、 為特殊多項式時的積分因子

例1：

解：原式= 顯然， ， 不是只關于 或 的函數，因此無法用一般方法求積分因子。注意到 為多項式，設積分因子

則

將 ， 看作新的 ，記作

注意到若可以使 ，則新的積分因子為1，總得積分因子即為

則 成立需要滿足的條件為 解得， ，則積分因子 ，代入原方程可得 ， ，方程解為

注意到此方法要求新的 求偏導數以后除系數不同外，其他對應相同，即需滿足

，（ 表示等式兩邊只有對應的系數不同）即 ，當 中 的次數相同時，一定滿足此方法的條件。

三、伯努利方程的積分因子：

形如： 的方程，稱為伯努利微分方程，這里 為 的連續函數， 是常數。查閱資料發現，要求伯努利方程的積分因子，需要先證明以下定理：

1.假定方程（1） 中的函數 滿足 ，其中 ， 分別為 的連續函數，則方程（1）有積分因子

證明：用 同時乘以方程（1）的兩端，則（3）

得出

又由于 ，故 ，所以方程（3）為全微分方程，故 是方程一的積分因子。即

故 ， ，取 ，則滿足關系式 ，得積分因子為 。

參考文獻

[1]王高雄.常微分方程[M].第三版.高等教育出版社.北京.2006.7.

[2]李廣偉.典型方程的積分因子的解法[D].大連理工大學.2010.endprint